题目
设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=( )A.E B.-E C.A D.-A
设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=( )
A.E B.-E C.A D.-A
题目解答
答案
∵B=E+AB，C=A+CA，
∴
，即
；
，即
∴
故答案为A.
解析
步骤 1：求解B
由B=E+AB，可得$(E-A)B=E$，即$B={(E-A)}^{-1}$。
步骤 2：求解C
由C=A+CA，可得C(E-A)=A，即$C=A{(E-A)}^{-1}$。
步骤 3：计算B-C
$B-C={(E-A)}^{-1}-{ACE}^{-}({F}^{-}){(E-A)}^{-1}=(E-A){(E-A)}^{-1}=E$。
由B=E+AB，可得$(E-A)B=E$，即$B={(E-A)}^{-1}$。
步骤 2：求解C
由C=A+CA，可得C(E-A)=A，即$C=A{(E-A)}^{-1}$。
步骤 3：计算B-C
$B-C={(E-A)}^{-1}-{ACE}^{-}({F}^{-}){(E-A)}^{-1}=(E-A){(E-A)}^{-1}=E$。