22、设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1 )内可导,且 f(0)=f(1)=0 (dfrac (1)(2))=1 证明:至-|||-少存在一点 xi in (0,1), 使得 '(xi )=1

考查要点：本题主要考查微分中值定理的应用，特别是罗尔定理和介值定理的综合运用。关键在于通过构造适当的辅助函数，将原问题转化为满足罗尔定理条件的形式。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：通过引入线性项调整原函数，使得构造后的函数在特定区间端点处函数值相等。
2. 应用介值定理：确定辅助函数在某个中间点处的零点，从而形成新的闭区间。
3. 应用罗尔定理：在新形成的闭区间上应用罗尔定理，得到导数为零的点，进而推出原函数的导数为1。

破题关键点：

• 辅助函数的选择：通过减去线性项$x$，使得构造后的函数在端点处的函数值差异被调整，便于后续分析。
• 零点的存在性：利用介值定理证明辅助函数在$(1/2,1)$内存在零点，从而形成闭区间$[0,\eta]$。
• 罗尔定理的条件验证：确保辅助函数在闭区间上连续、可导，且端点函数值相等。

步骤1：构造辅助函数
设辅助函数$F(x) = f(x) - x$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。

步骤2：计算关键点的函数值

• $F(0) = f(0) - 0 = 0$
• $F\left(\dfrac{1}{2}\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} > 0$
• $F(1) = f(1) - 1 = 0 - 1 = -1 < 0$

步骤3：应用介值定理
由于$F\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} > 0$且$F(1) = -1 < 0$，根据介值定理，存在$\eta \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$，使得$F(\eta) = 0$。

步骤4：应用罗尔定理
在区间$[0, \eta]$上：

• $F(x)$连续且可导；
• $F(0) = 0$，$F(\eta) = 0$。
  根据罗尔定理，存在$\xi \in (0, \eta) \subset (0, 1)$，使得$F'(\xi) = 0$。
  由$F'(x) = f'(x) - 1$，得$f'(\xi) - 1 = 0$，即$f'(\xi) = 1$。