题目
设积分区域D由曲线 =ln x 以及直线 x=2 =0 围成,则 iint dfrac ({e)^xy}({x)^x-1}dsigma = __
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 x=2 和 y=0 围成。因此，积分区域D可以表示为 $D=\{ (x,y)|1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant \ln x\}$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，二重积分可以表示为 $\iint \dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}d\sigma ={\int }_{1}^{2}dx{\int }_{0}^{\ln x}\dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}dy$。
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分 ${\int }_{0}^{\ln x}\dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}dy$，得到 ${\int }_{0}^{\ln x}\dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}dy = \dfrac {1}{{x}^{x}-1}{\int }_{0}^{\ln x}{e}^{xy}dy$。由于 ${\int }_{0}^{\ln x}{e}^{xy}dy = \dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x}$，因此内层积分为 $\dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x({x}^{x}-1)}$。
步骤 4：计算外层积分
计算外层积分 ${\int }_{1}^{2}\dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x({x}^{x}-1)}dx$，得到 ${\int }_{1}^{2}\dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x({x}^{x}-1)}dx = {\int }_{1}^{2}\dfrac{dx}{x} = \ln 2$。
积分区域D由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 x=2 和 y=0 围成。因此，积分区域D可以表示为 $D=\{ (x,y)|1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant \ln x\}$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，二重积分可以表示为 $\iint \dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}d\sigma ={\int }_{1}^{2}dx{\int }_{0}^{\ln x}\dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}dy$。
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分 ${\int }_{0}^{\ln x}\dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}dy$，得到 ${\int }_{0}^{\ln x}\dfrac {{e}^{xy}}{{x}^{x}-1}dy = \dfrac {1}{{x}^{x}-1}{\int }_{0}^{\ln x}{e}^{xy}dy$。由于 ${\int }_{0}^{\ln x}{e}^{xy}dy = \dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x}$，因此内层积分为 $\dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x({x}^{x}-1)}$。
步骤 4：计算外层积分
计算外层积分 ${\int }_{1}^{2}\dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x({x}^{x}-1)}dx$，得到 ${\int }_{1}^{2}\dfrac{{e}^{x\ln x}-1}{x({x}^{x}-1)}dx = {\int }_{1}^{2}\dfrac{dx}{x} = \ln 2$。