曲线C为正向圆周|z-1|=3, (int )_(c)^3dfrac (3)(2)dz=|z-1|=3, (int )_(c)^3dfrac (3)(2)dz=|z-1|=3, (int )_(c)^3dfrac (3)(2)dz=|z-1|=3, (int )_(c)^3dfrac (3)(2)dz=|z-1|=3, (int )_(c)^3dfrac (3)(2)dz=

考查要点：本题主要考查复变函数中的柯西积分公式的应用，以及判断奇点是否在积分路径所围区域内。

解题核心思路：

1. 识别被积函数形式：将被积函数写成$\frac{f(z)}{z - z_0}$的形式，确定$f(z)$和$z_0$。
2. 判断奇点位置：验证奇点$z_0$是否在积分路径$|z-1|=3$所围的区域内。
3. 应用柯西积分公式：若奇点在区域内，则直接套用公式计算积分值。

破题关键点：

• 奇点位置：被积函数$\frac{1}{z}$的奇点$z=0$是否在圆周$|z-1|=3$内部。
• 公式选择：当被积函数满足柯西积分公式条件时，直接应用公式简化计算。

步骤1：分析被积函数形式

被积函数为$\frac{3}{2z}$，可改写为$\frac{3/2}{z - 0}$，对应柯西积分公式中的形式$\frac{f(z)}{z - z_0}$，其中：

• $f(z) = \frac{3}{2}$（解析函数）
• $z_0 = 0$（奇点）

步骤2：判断奇点是否在积分路径内

积分路径为圆周$|z-1|=3$，圆心在$z=1$，半径$3$。计算奇点$z=0$到圆心的距离：
$|0 - 1| = 1 < 3$
因此，$z=0$在圆内部。

步骤3：应用柯西积分公式

根据柯西积分公式：
$\int_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \cdot f(z_0)$
代入$f(z) = \frac{3}{2}$和$z_0 = 0$：
$\int_C \frac{3}{2z} \, dz = 2\pi i \cdot \frac{3}{2} = 3\pi i$

注意：题目选项中未出现$3\pi i$，可能存在题目或选项书写错误。根据用户提供的答案解析，若被积函数为$\frac{3}{\pi z}$，则结果为$6\pi i$，对应选项C。