题目
函数 u = xy^2z^3 在点 (1,1,1) 处方向导数的最大值是 ____A. sqrt(14)B. 14C. sqrt(13)D. 13
函数 $u = xy^2z^3$ 在点 $(1,1,1)$ 处方向导数的最大值是 ____
A. $\sqrt{14}$
B. 14
C. $\sqrt{13}$
D. 13
题目解答
答案
A. $\sqrt{14}$
解析
步骤 1：计算函数 $u = xy^2z^3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的梯度
函数 $u = xy^2z^3$ 的梯度为： \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \left( y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2 \right) \] 在点 $(1,1,1)$ 处，梯度为： \[ \nabla u = \left( 1^2 \cdot 1^3, 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1^3, 3 \cdot 1 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \right) = (1, 2, 3) \]
步骤 2：计算梯度的模
梯度的模即为方向导数的最大值： \[ $ \nabla u $ = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \]
函数 $u = xy^2z^3$ 的梯度为： \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \left( y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2 \right) \] 在点 $(1,1,1)$ 处，梯度为： \[ \nabla u = \left( 1^2 \cdot 1^3, 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1^3, 3 \cdot 1 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \right) = (1, 2, 3) \]
步骤 2：计算梯度的模
梯度的模即为方向导数的最大值： \[ $ \nabla u $ = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \]