题目

已知，节点，求f(x)的拉格朗日抛物插值多项式，并计算f(3.5)的值，并估计误差.

已知 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ ，节点 $x_0=2,x_1=3,x_2=4$ ，求f(x)的拉格朗日抛物插值多项式，并计算f(3.5)的值，并估计误差.

题目解答

答案

解：由于 $f\left(x_0\right)=f\left(2\right)=\frac{1}{4},f\left(x_1\right)=f\left(3\right)=\frac{1}{9},f\left(x_2\right)=f\left(4\right)=\frac{1}{16}$ ，所以拉格朗日插值为 $L\left(x\right)=\frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{\left(2-3\right)\left(2-4\right)}\cdot\frac{1}{4}+\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(3-2\right)\left(3-4\right)}\cdot\frac{1}{9}+\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(4-2\right)\left(4-3\right)}\cdot\frac{1}{16}$ $=\frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{8}-\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{9}+\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{32}=\frac{13}{288}x^2-\frac{35}{96}x+\frac{115}{144}$ ，则 $f(3.5)=\frac{1}{3.5^2}=\frac{4}{49}\approx0.08163265$ , $L\left(3.5\right)=\frac{13}{288}\times3.5^2-\frac{35}{96}\times3.5+\frac{115}{144}=\frac{29}{384}\approx0.07552083$ ，误差约为R(3.5)=f(3.5)-L(3.5)=0.00611182.