题目

(6)收敛, lim _(narrow infty )dfrac ({2)^n-1}({3)^n}=0.-|||-(7) n-dfrac {1)(n)} 发散.-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)} 发散.-|||-1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化-|||-趋势,写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)({2)^n}} ;-|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} ;-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} ;-|||-(4)(n-11-|||-(5) { n{(-1))^n} ;-|||-(6)[2^n-1]-|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)} -|||-解 (1)收敛, lim _(narrow infty )dfrac (1)({2)^n}=0.-|||-(2)收敛, lim _(narrow infty )((-1))^ndfrac (1)(n)=0.-|||-(3)收敛, lim _(narrow infty )(2+dfrac (1)({n)^2})=2.-|||-(4)收敛, lim _(narrow infty )dfrac (n-1)(n+1)=1.-|||-(e)(1)m

题目解答

考查要点：数列收敛与发散的判断，极限的计算。
解题思路：

收敛数列：当$n \to \infty$时，数列趋于确定值。
- 指数型：如$\dfrac{1}{2^n}$，分母指数增长，极限为$0$。
- 震荡衰减型：如$(-1)^n \cdot \dfrac{1}{n}$，绝对值趋于$0$，极限为$0$。
- 有界趋近型：如$\dfrac{n-1}{n+1}$，化简后极限为$1$。
发散数列：
- 无界增长型：如$3^n$，指数增长趋于$\infty$。
- 震荡无界型：如$n(-1)^n$，绝对值趋于$\infty$且符号交替。
- 趋向无穷型：如$n - \dfrac{1}{n}$，整体趋于$\infty$。
- 震荡不收敛型：如$[(-1)^n +1] \cdot \dfrac{n+1}{n}$，子列极限不同。

(1) $\left\{ \dfrac{1}{2^n} \right\}$

关键：分母指数增长。
当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{2^n} \to 0$，故收敛，极限为$0$。

(2) $\left\{ (-1)^n \cdot \dfrac{1}{n} \right\}$

关键：绝对值趋于$0$。
$\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n \cdot \dfrac{1}{n} = 0$，故收敛，极限为$0$。

(3) $\left\{ 2 + \dfrac{1}{2^n} \right\}$

关键：第二项趋于$0$。
$\lim\limits_{n \to \infty} \left( 2 + \dfrac{1}{2^n} \right) = 2$，故收敛，极限为$2$。

(4) $\left\{ \dfrac{n-1}{n+1} \right\}$

关键：化简为$1 - \dfrac{2}{n+1}$。
$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n-1}{n+1} = 1$，故收敛，极限为$1$。

(5) $\left\{ n(-1)^n \right\}$

关键：绝对值趋于$\infty$且符号交替。
数列在$+\infty$和$-\infty$间震荡，发散。

(6) $\left\{ 3^n \right\}$

关键：指数增长。
$\lim\limits_{n \to \infty} 3^n = +\infty$，故发散。

(7) $\left\{ n - \dfrac{1}{n} \right\}$

关键：$n$主导趋于$\infty$。
$\lim\limits_{n \to \infty} \left( n - \dfrac{1}{n} \right) = +\infty$，故发散。

(8) $\left\{ [(-1)^n +1] \cdot \dfrac{n+1}{n} \right\}$

关键：奇偶项不同。