如图所示。质量为m的物体，以速度v向光滑的轨道物体M运动，求m能够运动到的最大高度hmax。 光渭-|||-M v-|||-m-|||-光滑

考查要点：本题主要考查机械能守恒定律和动量守恒定律的综合应用，涉及物体在光滑轨道上的运动问题。

解题核心思路：

1. 系统选择：将物体$m$和$M$以及地球视为系统，由于轨道光滑，水平方向无外力做功，且只有保守力（重力）做功，因此机械能守恒。
2. 关键条件：当$m$上升到最大高度时，$m$与$M$的速度相同，此时系统水平方向动量守恒。

破题关键点：

• 动量守恒：水平方向无外力，总动量守恒。
• 机械能守恒：初始动能转化为系统动能和$m$的重力势能。

步骤1：动量守恒分析

系统在水平方向动量守恒，初始动量为$m v$，当$m$与$M$速度相同时，总动量为$(m+M)V$，因此：
$m v = (m+M)V \quad \Rightarrow \quad V = \frac{m}{m+M} v$

步骤2：机械能守恒分析

初始动能为$\frac{1}{2} m v^2$，当达到最大高度时，系统动能为$\frac{1}{2}(m+M)V^2$，$m$的重力势能为$m g h_{\text{max}}$。根据机械能守恒：
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + m g h_{\text{max}}$

步骤3：联立方程求解

将$V = \frac{m}{m+M} v$代入机械能守恒方程：
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{m}{m+M} v\right)^2 + m g h_{\text{max}}$
化简得：
$h_{\text{max}} = \frac{M v^2}{2 g (m+M)}$