lim_(xto0^+)(x^sinx-(sinx)^x)/(x^3)lnx

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及指数函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及分式化简技巧。

解题核心思路：

1. 指数函数转换：将分子中的$x^{\sin x}$和$(\sin x)^x$转换为自然指数形式，便于利用等价无穷小展开。
2. 等价无穷小替换：利用$e^u - e^v \sim e^v(u - v)$（当$u, v \to 0$）简化分子表达式。
3. 泰勒展开：对$\sin x$和$\ln \sin x$进行泰勒展开，进一步化简分子中的差项。
4. 分式化简：将分子与分母的高阶无穷小进行对比，消去高阶项，最终求得极限值。

破题关键点：

• 识别指数函数的展开形式，将问题转化为对指数差的处理。
• 灵活应用等价无穷小替换，简化复杂的表达式。
• 准确展开$\sin x$和$\ln \sin x$的泰勒多项式，确保展开项的阶数足够高以消除低阶干扰项。

步骤1：转换指数形式
将分子中的两个项改写为自然指数形式：
$x^{\sin x} = e^{\sin x \ln x}, \quad (\sin x)^x = e^{x \ln \sin x}$

步骤2：应用等价无穷小替换
当$x \to 0^+$时，$\sin x \ln x \to 0$且$x \ln \sin x \to 0$，因此：
$e^{\sin x \ln x} - e^{x \ln \sin x} \sim e^{x \ln \sin x} \left( \sin x \ln x - x \ln \sin x \right)$

步骤3：近似$e^{x \ln \sin x}$
由于$x \ln \sin x \to 0$，故$e^{x \ln \sin x} \to 1$，分子近似为：
$\sin x \ln x - x \ln \sin x$

步骤4：展开$\sin x$和$\ln \sin x$
利用泰勒展开：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad \ln \sin x = \ln x - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$

代入分子表达式：
$\begin{aligned}\sin x \ln x - x \ln \sin x &\sim \left( x - \frac{x^3}{6} \right) \ln x - x \left( \ln x - \frac{x^2}{6} \right) \\&= x \ln x - \frac{x^3}{6} \ln x - x \ln x + \frac{x^3}{6} \\&= -\frac{x^3}{6} \ln x + \frac{x^3}{6}\end{aligned}$

步骤5：化简分式
原式化简为：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{x^3}{6} (\ln x - 1)}{x^3 \ln x} = -\frac{1}{6} + \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{6 \ln x}$

步骤6：计算剩余极限
当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，故$\frac{1}{6 \ln x} \to 0$，最终结果为：
$-\frac{1}{6}$