题目
函数 z = xy 在适合条件 x + y = 1 下的极大值为 ()A. 1/2B. 1/6C. 1/4D. 1/8
函数 $z = xy $在适合条件 $x + y = 1 $下的极大值为 ()
A. 1/2
B. 1/6
C. 1/4
D. 1/8
题目解答
答案
C. 1/4
解析
步骤 1：将条件 $x + y = 1$ 代入函数 $z = xy$ 中
由于 $x + y = 1$，可以将 $y$ 表示为 $y = 1 - x$。将 $y$ 的表达式代入 $z = xy$ 中，得到 $z = x(1 - x)$。
步骤 2：求 $z = x(1 - x)$ 的极大值
$z = x(1 - x) = x - x^2$，这是一个开口向下的二次函数，其顶点坐标为 $(\frac{-b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$，其中 $a = -1$，$b = 1$，$c = 0$。因此，顶点坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$。所以，$z$ 的极大值为 $\frac{1}{4}$。
步骤 3：验证极大值
当 $x = \frac{1}{2}$ 时，$y = 1 - x = \frac{1}{2}$，此时 $z = xy = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，验证了极大值为 $\frac{1}{4}$。
由于 $x + y = 1$，可以将 $y$ 表示为 $y = 1 - x$。将 $y$ 的表达式代入 $z = xy$ 中，得到 $z = x(1 - x)$。
步骤 2：求 $z = x(1 - x)$ 的极大值
$z = x(1 - x) = x - x^2$，这是一个开口向下的二次函数，其顶点坐标为 $(\frac{-b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$，其中 $a = -1$，$b = 1$，$c = 0$。因此，顶点坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$。所以，$z$ 的极大值为 $\frac{1}{4}$。
步骤 3：验证极大值
当 $x = \frac{1}{2}$ 时，$y = 1 - x = \frac{1}{2}$，此时 $z = xy = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，验证了极大值为 $\frac{1}{4}$。