题目
设是从点经到点的有向弧段，则有等于：A. B. C. D.
设
是从点
经
到点
的有向弧段，则有
等于：
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
解：对于，
令
，
，则
，
，
由此可知
，
所以积分与路径无关，
因此取直线，到，
所以
.
故答案为：D.
解析
步骤 1：确定积分路径
题目中给出的路径是从点(0,0)经$y=-\sqrt {2x-{x}^{2}}$到点(2,0)的有向弧段。这条路径可以看作是圆$x^2+y^2=2x$的下半部分，即$(x-1)^2+y^2=1$的下半部分。
步骤 2：验证积分与路径无关
对于${\iint }_{L}({x}^{2}+2xy)dx+({x}^{2}-{y}^{2})dy$，令$P(x,y)={x}^{2}+2xy$，$Q(x,y)={x}^{2}-{y}^{2}$，则$\dfrac {\partial P}{\partial y}=2x$，$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=2x$，由此可知$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}=2x$，所以积分与路径无关。
步骤 3：计算积分
由于积分与路径无关，我们可以选择从(0,0)到(2,0)的直线路径来计算积分。在直线上，$y=0$，$dy=0$，所以积分变为${\int }_{0}^{2}({x}^{2}+2x\cdot0)dx={\int }_{0}^{2}{x}^{2}dx$。计算这个积分，我们得到$\dfrac {1}{3}{x}^{3}{\int }_{0}^{2}=\dfrac {8}{3}$。
题目中给出的路径是从点(0,0)经$y=-\sqrt {2x-{x}^{2}}$到点(2,0)的有向弧段。这条路径可以看作是圆$x^2+y^2=2x$的下半部分，即$(x-1)^2+y^2=1$的下半部分。
步骤 2：验证积分与路径无关
对于${\iint }_{L}({x}^{2}+2xy)dx+({x}^{2}-{y}^{2})dy$，令$P(x,y)={x}^{2}+2xy$，$Q(x,y)={x}^{2}-{y}^{2}$，则$\dfrac {\partial P}{\partial y}=2x$，$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=2x$，由此可知$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}=2x$，所以积分与路径无关。
步骤 3：计算积分
由于积分与路径无关，我们可以选择从(0,0)到(2,0)的直线路径来计算积分。在直线上，$y=0$，$dy=0$，所以积分变为${\int }_{0}^{2}({x}^{2}+2x\cdot0)dx={\int }_{0}^{2}{x}^{2}dx$。计算这个积分，我们得到$\dfrac {1}{3}{x}^{3}{\int }_{0}^{2}=\dfrac {8}{3}$。