当x arrow 0时，1 - cos x与x^2的关系是()A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小

考查要点：本题主要考查无穷小量的阶数比较，需要掌握泰勒展开式或等价无穷小替换的方法。

解题核心思路：
通过展开$\cos x$的泰勒级数，将$1 - \cos x$表示为$x^2$的多项式形式，比较其与$x^2$的主部项，从而判断两者的阶数关系。

破题关键点：

1. 泰勒展开：$\cos x$在$x=0$处的展开式为$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$。
2. 主部项提取：$1 - \cos x$的主部项为$\frac{x^2}{2}$，与$x^2$的系数比为常数$\frac{1}{2}$，说明两者为同阶无穷小。

步骤1：展开$\cos x$的泰勒级数

$\cos x$在$x=0$处的泰勒展开式为：
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$

步骤2：计算$1 - \cos x$

将展开式代入得：
$1 - \cos x = 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots$

步骤3：忽略高阶无穷小

当$x \to 0$时，高阶项（如$\frac{x^4}{24}$）可忽略，因此：
$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$

步骤4：比较阶数

$\frac{x^2}{2}$与$x^2$的比值为$\frac{1}{2}$，即两者为同阶无穷小。

步骤5：验证极限

计算极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \cdots\right) = \frac{1}{2}$
由于极限为非零常数，进一步确认两者为同阶无穷小。