设随机变量（X，Y）的概率密度为 f(x,y)= ) k, 0lt xlt 1,0lt ylt x, 0, .-|||-. 试确定常数k，并求E（XY）.

考查要点：本题主要考查二维连续型随机变量的概率密度函数的归一化条件以及期望的计算方法。

解题核心思路：

1. 确定常数k：根据概率密度函数的归一化条件，即积分在整个定义域内等于1，建立方程求解k。
2. 计算期望E(XY)：利用期望的定义式，对xy乘以概率密度函数在定义域内进行二重积分。

破题关键点：

• 积分区域的确定：注意y的取值范围依赖于x（0 < y < x），需正确设置积分上下限。
• 分步积分：先对y积分，再对x积分，简化计算过程。

确定常数k

根据概率密度函数的归一化条件：
$\iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1$
在定义域内，$f(x,y) = k$，积分区域为$0 < x < 1$且$0 < y < x$，因此：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k \, dy \, dx = k \int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{x} dy \right] dx = k \int_{0}^{1} x \, dx = k \cdot \frac{1}{2} = 1$
解得：
$k = 2$

计算E(XY)

期望的定义式为：
$E(XY) = \iint_{-\infty}^{+\infty} xy \cdot f(x,y) \, dx \, dy$
代入$f(x,y) = 2$，积分区域仍为$0 < x < 1$且$0 < y < x$：
$E(XY) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \cdot 2 \, dy \, dx$
分步计算：

1. 对y积分：
   $\int_{0}^{x} 2xy \, dy = 2x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x} = 2x \cdot \frac{x^2}{2} = x^3$
2. 对x积分：
   $\int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{4}$
   因此：
   $E(XY) = \frac{1}{4}$