设函数 f(x) = (ln |x|)/(|x-1|) sin x，则 f(x) 有（ ）A. 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点.B. 1 个可去间断点，1 个无穷间断点.C. 2 个跳跃间断点.D. 2 个无穷间断点.

本题考查函数间断点的类型判断，解题思路是先找出函数的间断点，再分别计算间断点处的左右极限，根据左右极限的情况判断间断点的类型。

步骤一：找出函数的间断点

函数$f(x) = \frac{\ln |x|}{|x - 1|} \sin x$是一个分式函数与三角函数的乘积，分式的分母不能为$0$，则$|x - 1| = 0$，即$x = 1$时函数无定义；同时对数函数$\ln|x|$中$|x|>0$，当$x = 0$时$\ln|x|$无定义。所以函数$f(x)$的间断点为$x = 0$和$x = 1$。

步骤二：判断$x = 0$处间断点的类型

计算$x\to 0$时函数$f(x)$的极限：
$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln |x|}{|x - 1|} \sin x$
因为$\lim\limits_{x\to 0}\sin x = 0$，$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln |x|}{|x - 1|}=\frac{\lim\limits_{x\to 0}\ln |x|}{\lim\limits_{x\to 0}|x - 1|}=\frac{-\infty}{1}=-\infty$，但$\sin x$是有界函数，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，可得：
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln |x|}{|x - 1|} \sin x = 0$
由于函数在$x = 0$处极限存在，但函数在该点无定义，所以$x = 0$是可去间断点。

步骤三：判断$x = 1$处间断点的类型

分别计算$x\to 1^+$和$x\to 1^-$时函数$f(x)$的极限：

• 当$x\to 1^+$时，$x - 1>0$，则$|x - 1| = x - 1$，$\sin x\to\sin 1$，$\ln |x|\to\ln 1 = 0$，所以：
  $\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\ln |x|}{x - 1} \sin x=\sin 1\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\ln x}{x - 1}$
  根据等价无穷小$\ln(1 + t)\sim t$（$t\to 0$），当$x\to 1$时，$\ln x=\ln(1 + (x - 1))\sim x - 1$，则：
  $\sin 1\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\ln x}{x - 1}=\sin 1\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x - 1}{x - 1}=\sin 1$
• 当$x\to 1^-$时，$x - 1<0$，则$|x - 1| = 1 - x$，$\sin x\to\sin 1$，$\ln |x|\to\ln 1 = 0$，所以：
  $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{\ln |x|}{1 - x} \sin x=\sin 1\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{\ln x}{1 - x}$
  同样根据等价无穷小$\ln(1 + t)\sim t$（$t\to 0$），当$x\to 1$时，$\ln x=\ln(1 + (x - 1))\sim x - 1$，则：
  $\sin 1\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{\ln x}{1 - x}=\sin 1\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{x - 1}{1 - x}=-\sin 1$
  因为$\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\sin 1$，$\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-\sin 1$，左右极限都存在但不相等，所以$x = 1$是跳跃间断点。

综上，函数$f(x)$有$1$个可去间断点$x = 0$，$1$个跳跃间断点$x = 1$。