1.6 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.(1) mathrm(Im)z=0; (2) -pi<mathrm(Im)z<pi;(3) |z-2|+|z+2|leqslant6; (4) (pi)/(3)leqslantarg zleqslant(2pi)/(3),2<|z|<3.

让我们逐步分析每个条件，确定满足每个条件的点组成的图形，以及它们是否是区域，如果是，是单连通区域还是多连通区域。

条件 (1): $\mathrm{Im}z = 0$

• 复数 $z$ 可以写成 $z = x + yi$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。
• 条件 $\mathrm{Im}z = 0$ 意味着 $y = 0$。
• 因此，满足这个条件的点是所有在实轴上的点。
• 这是一个直线，不是区域。

条件 (2): $-\pi < \mathrm{Im}z < \pi$

• 复数 $z$ 可以写成 $z = x + yi$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。
• 条件 $-\pi < \mathrm{Im}z < \pi$ 意味着 $-\pi < y < \pi$。
• 因此，满足这个条件的点是所有位于直线 $y = -\pi$ 和 $y = \pi$ 之间的点。
• 这是一个带状区域，是区域，且是单连通区域。

条件 (3): $|z-2| + |z+2| \leqslant 6$

• 复数 $z$ 可以写成 $z = x + yi$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。
• 条件 $|z-2| + |z+2| \leqslant 6$ 意味着从 $z$ 到点 $2$ 和 $-2$ 的距离之和小于或等于 6。
• 这是椭圆的定义，焦点在 $2$ 和 $-2$，主轴长度为 6。
• 椭圆包括其内部，是区域，且是单连通区域。

条件 (4): $\frac{\pi}{3} \leqslant \arg z \leqslant \frac{2\pi}{3}, 2 < |z| < 3$

• 复数 $z$ 可以写成 $z = re^{i\theta}$，其中 $r$ 是模，$\theta$ 是幅角。
• 条件 $\frac{\pi}{3} \leqslant \arg z \leqslant \frac{2\pi}{3}$ 意味着 $\frac{\pi}{3} \leqslant \theta \leqslant \frac{2\pi}{3}$。
• 条件 $2 < |z| < 3$ 意味着 $2 < r < 3$。
• 因此，满足这些条件的点是所有位于圆 $r = 2$ 和 $r = 3$ 之间，且在角度 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{2\pi}{3}$ 之间的点。
• 这是一个扇形环，是区域，且是单连通区域。

总结

1. $\mathrm{Im}z = 0$: 直线，不是区域。
2. $-\pi < \mathrm{Im}z < \pi$: 带状区域，是区域，且是单连通区域。
3. $|z-2| + |z+2| \leqslant 6$: 椭圆，是区域，且是单连通区域。
4. $\frac{\pi}{3} \leqslant \arg z \leqslant \frac{2\pi}{3}, 2 < |z| < 3$: 扇形环，是区域，且是单连通区域。

最终答案是：
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{(1) 直线，不是区域.} & \\\text{(2) 带状区域，是区域，且是单连通区域.} & \\\text{(3) 椭圆，是区域，且是单连通区域.} & \\\text{(4) 扇形环，是区域，且是单连通区域.} & \\\end{array}}$