6.[a,b]区间上n个可微的函数线性相关的充要条件是它们构成的朗斯基行列式为零。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查对朗斯基行列式（Wronskian）与函数线性相关性关系的理解，特别是充要条件的判定。

核心思路：

• 朗斯基行列式为零是函数线性相关的必要条件，即若函数线性相关，则朗斯基行列式必为零；但朗斯基行列式为零并非充分条件，即行列式为零时，函数未必线性相关。
• 题目中将朗斯基行列式为零作为充要条件，忽略了其仅为必要条件的本质，因此结论错误。

破题关键：

• 明确朗斯基行列式的性质：零行列式仅说明可能存在线性相关性，但不能反向推导。
• 通过反例（如构造朗斯基行列式为零但函数线性无关的例子）可快速判断命题不成立。

朗斯基行列式的定义与性质：
对于$n$个可微函数$f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)$，其朗斯基行列式为：
$W(f_1, f_2, \dots, f_n)(x) = \begin{vmatrix}f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$

• 若函数线性相关，则$W \equiv 0$（必要性成立）。
• 若$W \not\equiv 0$，则函数线性无关（局部性质）。
• 若$W \equiv 0$，函数未必线性相关（充分性不成立）。

反例说明：
考虑区间$[0, 1]$上的两个函数$f(x) = x^2$和$g(x) = x|x|$。

• 计算导数：$f'(x) = 2x$，$g'(x) = 2x$（当$x > 0$时）。
• 朗斯基行列式$W = f(x)g'(x) - f'(x)g(x) = x^2 \cdot 2x - 2x \cdot x|x| = 0$（恒为零）。
• 但$f(x)$和$g(x)$在$[0, 1]$上线性无关，因为不存在常数$k$使得$f(x) = k g(x)$。

结论：
题目中“充要条件”的表述错误，正确答案为B。