题目

单选题（共20题，100.0分）题型说明：单选题19. (5.0分)极限lim_(xtoinfty)((1+x)/(x))^2x=( )A 1;B e;C 2e;D e^2.

单选题（共20题，100.0分） 题型说明：单选题 19. (5.0分) 极限$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2x}=( )$ A 1; B e; C 2e; D $e^{2}$.

题目解答

答案

将原式化简为 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x}$。 利用重要极限公式 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，可得： \[ \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^2 = e^2 \] 或者，取对数后利用泰勒展开 $\ln(1 + u) \approx u$（当 $u \to 0$），有： \[ \ln \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x}\right] \approx 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \quad (x \to \infty) \] 因此，原极限为 $e^2$。 答案：$\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查重要极限公式的应用，以及对指数函数极限形式的灵活转化能力。

解题核心思路：
将原式变形为标准极限形式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，通过调整指数系数直接应用公式，或通过取对数化简后利用泰勒展开求解。

破题关键点：

  1. 分子拆分：将$\frac{1+x}{x}$化简为$1 + \frac{1}{x}$，使表达式符合重要极限形式。
  2. 指数调整：将原式中的指数$2x$拆分为$x \cdot 2$，从而与标准极限公式对应。
  3. 对数转换：若直接应用公式不明显，可通过取对数将指数转化为线性表达式，简化计算。

步骤1：化简原式
原式为：
$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1+x}{x} \right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x}$

步骤2：应用重要极限公式
已知重要极限：
$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$
将原式中的指数$2x$拆分为$x \cdot 2$，得：
$\left[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^2 \xrightarrow{x \to \infty} e^2$

步骤3（备选方法）：取对数化简
取自然对数后：
$\ln \left( \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x} \right) = 2x \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)$
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1+u) \approx u$（$u \to 0$），得：
$2x \cdot \frac{1}{x} = 2$
因此原极限为$e^2$。