7.（5.0分）设||*||是R^n times n上的一种矩阵范数，则对A,B in R^n times n下列表达式错误的是（）。A. ||A|| ge 0B. ||alpha A||=alpha||A||C. ||A+B|| le ||A||+||B||D. ||AB|| le ||A||||B||

本题考查矩阵范数的基本性质。解题思路是根据矩阵范数的定义和性质，逐一分析每个选项是否正确。

选项A

根据矩阵范数的定义，对于任意矩阵$A\in R^{n\times n}$，矩阵范数$\|A\|$具有非负性，即$\|A\|\ge0$，并且\\(\|A\| = 0\)当且仅当$A = 0\mathbf{0}$（零矩阵）。所以选项A正确。

选项B

矩阵范数需要满足齐次性，即对于任意矩阵$A\in R^{n\times n}$和任意非零实数$\alpha$，应该有$\|\alpha A\| = |\alpha|\|A\|$，而不是$\|\alpha A\|=\alpha\|A\|$。因为当括号$\(\alpha$为实数)，当$\alpha<0$时，$\|\alpha A\|=\alpha\|A\|$不成立)。所以选项B错误。

选项C

矩阵范数满足三角不等式，即对于任意$A,B\in R^{n\times n}$，有$\|A + B\|\le \|A\|+\|B\|$。这是矩阵范数范数的基本性质之一。所以选项C正确。

选项D

矩阵范数满足次乘性，即对于任意\\(通常是相容的)矩阵范数，对于任意$A,B\in R^{n\times n}$，有$\|AB\|\le \|A\|\|B\|$。所以选项D正确。