129 (x)=dfrac (sin pi x)(x-1)(e)^dfrac (1{{(x-1))^3}} 则当x→1时有-|||-(A) lim f(x)=-pi . (B) lim f(x)=0.-|||-(C) lim _(xarrow 1)f(x)=infty . D)limf(x)不存在,且 lim _(xarrow 1)f(x)neq infty A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查函数在特定点的极限是否存在，涉及分式与指数函数的复合极限，需分析左右极限是否一致，以及是否存在无穷大情况。

解题核心思路：

1. 分解函数：将函数拆分为分式部分 $\dfrac{\sin \pi x}{x-1}$ 和指数部分 $e^{\dfrac{1}{(x-1)^3}}$，分别分析其极限行为。
2. 变量替换：令 $t = x-1$，将极限问题转化为 $t \to 0$ 的情形，简化计算。
3. 左右极限分析：特别注意指数部分在 $t \to 0^+$ 和 $t \to 0^-$ 时的不同趋势，判断整体极限是否存在。

破题关键点：

• 分式部分的极限：利用三角函数展开或泰勒公式，得出 $\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(\pi + \pi t)}{t} = -\pi$。
• 指数部分的左右极限：当 $t \to 0^+$ 时，$e^{1/t^3} \to +\infty$；当 $t \to 0^-$ 时，$e^{1/t^3} \to 0$。
• 整体乘积的极限：左右极限不一致，且右侧趋向于负无穷，左侧趋向于0，故极限不存在且非无穷大。

分式部分的极限

令 $t = x - 1$，当 $x \to 1$ 时，$t \to 0$。分式部分可变形为：
$\frac{\sin(\pi(1 + t))}{t} = \frac{\sin(\pi + \pi t)}{t} = \frac{-\sin(\pi t)}{t}.$
当 $t \to 0$ 时，$\sin(\pi t) \approx \pi t$，因此：
$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\pi t)}{t} = -\pi.$

指数部分的极限

指数部分为 $e^{\dfrac{1}{t^3}}$：

• 当 $t \to 0^+$：$t^3 > 0$，故 $\dfrac{1}{t^3} \to +\infty$，因此 $e^{\dfrac{1}{t^3}} \to +\infty$。
• 当 $t \to 0^-$：$t^3 < 0$，故 $\dfrac{1}{t^3} \to -\infty$，因此 $e^{\dfrac{1}{t^3}} \to 0$。

整体函数的极限

将分式与指数部分相乘：

• 右侧极限（$t \to 0^+$）：$(-\pi) \cdot (+\infty) = -\infty$。
• 左侧极限（$t \to 0^-$）：$(-\pi) \cdot 0 = 0$。

结论：左右极限不相等，且右侧趋向于负无穷，左侧趋向于0，故极限不存在且非无穷大。