设z=f(x, y)=x^4+y^4-x^2-2xy-y^2，由[}f_(x)(x, y)=4x^3-2x-2y=0 f_(y)(x, y)=4y^3-2x-2y=0]解得其驻点为M_(0)(0, 0)、M_(1)(1, 1)、M_(2)(-1, 1)，则____.(A). f(M_(0))是函数f(x, y)的极小值；(B). f(M_(1))与f(M_(2))都是函数f(x, y)的极小值；(C). f(M_(0))是函数f(x, y)的极大值；(D). f(M_(1))与f(M_(2))都是函数f(x, y)的极大值。

我们来分析题目给出的函数：

$f(x, y) = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2$

并给出其偏导数：

$f_x(x, y) = 4x^3 - 2x - 2y = 0 \quad \text{(1)}$
$f_y(x, y) = 4y^3 - 2x - 2y = 0 \quad \text{(2)}$

第一步：确认驻点

题目中给出的驻点是：

• $M_0(0, 0)$
• $M_1(1, 1)$
• $M_2(-1, 1)$

我们先验证这些点是否满足方程组 (1) 和 (2)。

验证 $M_0(0, 0)$：

$f_x(0, 0) = 4(0)^3 - 2(0) - 2(0) = 0 \\ f_y(0, 0) = 4(0)^3 - 2(0) - 2(0) = 0$

成立。

验证 $M_1(1, 1)$：

$f_x(1, 1) = 4(1)^3 - 2(1) - 2(1) = 4 - 2 - 2 = 0 \\ f_y(1, 1) = 4(1)^3 - 2(1) - 2(1) = 4 - 2 - 2 = 0$

成立。

验证 $M_2(-1, 1)$：

$f_x(-1, 1) = 4(-1)^3 - 2(-1) - 2(1) = -4 + 2 - 2 = -4 \\ f_y(-1, 1) = 4(1)^3 - 2(-1) - 2(1) = 4 + 2 - 2 = 4$

不成立！所以 $M_2(-1, 1)$ 不是驻点，这可能是题目出错了。

我们再尝试求出所有驻点。

第二步：求驻点

由偏导数：

$f_x = 4x^3 - 2x - 2y = 0 \quad \text{(1)} \\ f_y = 4y^3 - 2x - 2y = 0 \quad \text{(2)}$

从(1)解出 $y$：

$2y = 4x^3 - 2x \Rightarrow y = 2x^3 - x \quad \text{(3)}$

代入(2)：

$4y^3 - 2x - 2y = 0$

代入(3)：

$4(2x^3 - x)^3 - 2x - 2(2x^3 - x) = 0$

计算 $ (2x^3 - x)^3 $：

$(2x^3 - x)^3 = 8x^9 - 12x^7 + 6x^5 - x^3$

代入原式：

$4(8x^9 - 12x^7 + 6x^5 - x^3) - 2x - 4x^3 + 2x = 0$

化简：

$32x^9 - 48x^7 + 24x^5 - 4x^3 - 4x^3 = 0 \\ 32x^9 - 48x^7 + 24x^5 - 8x^3 = 0$

提取公因式 $4x^3$：

$4x^3(8x^6 - 12x^4 + 6x^2 - 2) = 0$

所以解为：

• $x = 0$，代入(3)得 $y = 0$，得到驻点 $M_0(0, 0)$
• 解方程 $8x^6 - 12x^4 + 6x^2 - 2 = 0$

令 $t = x^2$，则：

$8t^3 - 12t^2 + 6t - 2 = 0$

尝试有理根定理，试 $t = 1$：

$8(1)^3 - 12(1)^2 + 6(1) - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0$

所以 $t = 1$ 是一个根，即 $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

代入(3)：

• 若 $x = 1$，则 $y = 2(1)^3 - 1 = 1$，得到 $M_1(1, 1)$
• 若 $x = -1$，则 $y = 2(-1)^3 - (-1) = -2 + 1 = -1$，得到 $M_3(-1, -1)$

所以驻点为：

• $M_0(0, 0)$
• $M_1(1, 1)$
• $M_3(-1, -1)$

所以题目中给出的 $M_2(-1, 1)$ 是错误的。

第三步：判断极值类型

我们使用二阶导数判别法，即利用 Hessian 矩阵：

$H = \begin{bmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\f_{yx} & f_{yy}\end{bmatrix}$

计算二阶偏导数：

• $f_{xx} = 12x^2 - 2$
• $f_{yy} = 12y^2 - 2$
• $f_{xy} = f_{yx} = -2$

所以 Hessian 行列式为：

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (12x^2 - 2)(12y^2 - 2) - 4$

在 $M_0(0, 0)$：

• $f_{xx} = -2$
• $f_{yy} = -2$
• $f_{xy} = -2$

$D = (-2)(-2) - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$

D = 0，无法判断，需要进一步分析。

在 $M_1(1, 1)$：

• $f_{xx} = 12(1)^2 - 2 = 10$
• $f_{yy} = 12(1)^2 - 2 = 10$
• $f_{xy} = -2$

$D = (10)(10) - (-2)^2 = 100 - 4 = 96 > 0 \\ f_{xx} = 10 > 0 \Rightarrow \text{极小值}$

在 $M_3(-1, -1)$：

• $f_{xx} = 12(-1)^2 - 2 = 10$
• $f_{yy} = 12(-1)^2 - 2 = 10$
• $f_{xy} = -2$

$D = 100 - 4 = 96 > 0 \\ f_{xx} = 10 > 0 \Rightarrow \text{极小值}$

第四步：结论

• $M_0(0, 0)$：D = 0，无法判断
• $M_1(1, 1)$：极小值
• $M_3(-1, -1)$：极小值

所以：

> 正确答案是：(B). $f(M_1)$ 与 $f(M_2)$ 都是函数 $f(x, y)$ 的极小值。

但注意：题目中的 $M_2(-1, 1)$ 不是驻点，应该是 $M_3(-1, -1)$。所以如果选项 (B) 中的 $M_2$ 是笔误，应为 $M_3$，则选 (B)。

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{(B)}}$