题目
把下列行列式按对角线法则展开．| } 1 & 1 & 1 a & b & c ({a)^2} & ({b)^2} & ({c)^2} |．
把下列行列式按对角线法则展开．
$\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right|$．
$\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right|$．
题目解答
答案
- (1)
$\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$．
- (2)
$-2\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)$．
解析
步骤 1：计算第一个行列式
根据对角线法则，行列式 $\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right|$ 的值等于主对角线元素的乘积加上次对角线元素的乘积，减去副对角线元素的乘积。即：
$$
\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right| = 1 \cdot b \cdot c^2 + 1 \cdot c \cdot a^2 + 1 \cdot a \cdot b^2 - 1 \cdot b \cdot a^2 - 1 \cdot c \cdot b^2 - 1 \cdot a \cdot c^2
$$
步骤 2：简化表达式
将上述表达式简化，得到：
$$
\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right| = abc^2 + a^2c + ab^2 - a^2b - b^2c - ac^2
$$
步骤 3：提取公因式
提取公因式，得到：
$$
\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right| = (a-b)(b-c)(c-a)
$$
步骤 4：计算第二个行列式
根据对角线法则，行列式 $\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right|$ 的值等于主对角线元素的乘积加上次对角线元素的乘积，减去副对角线元素的乘积。即：
$$
\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right| = x \cdot (x+y) \cdot y + y \cdot x \cdot (x+y) + (x+y) \cdot y \cdot x - x \cdot (x+y) \cdot x - y \cdot x \cdot y - (x+y) \cdot y \cdot (x+y)
$$
步骤 5：简化表达式
将上述表达式简化，得到：
$$
\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right| = x^2y + xy^2 + xy^2 + x^2y - x^3 - xy^2 - x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2
$$
步骤 6：提取公因式
提取公因式，得到：
$$
\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right| = -2(x^3 + y^3)
$$
根据对角线法则，行列式 $\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right|$ 的值等于主对角线元素的乘积加上次对角线元素的乘积，减去副对角线元素的乘积。即：
$$
\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right| = 1 \cdot b \cdot c^2 + 1 \cdot c \cdot a^2 + 1 \cdot a \cdot b^2 - 1 \cdot b \cdot a^2 - 1 \cdot c \cdot b^2 - 1 \cdot a \cdot c^2
$$
步骤 2：简化表达式
将上述表达式简化，得到：
$$
\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right| = abc^2 + a^2c + ab^2 - a^2b - b^2c - ac^2
$$
步骤 3：提取公因式
提取公因式，得到：
$$
\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\\end{matrix} \right| = (a-b)(b-c)(c-a)
$$
步骤 4：计算第二个行列式
根据对角线法则，行列式 $\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right|$ 的值等于主对角线元素的乘积加上次对角线元素的乘积，减去副对角线元素的乘积。即：
$$
\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right| = x \cdot (x+y) \cdot y + y \cdot x \cdot (x+y) + (x+y) \cdot y \cdot x - x \cdot (x+y) \cdot x - y \cdot x \cdot y - (x+y) \cdot y \cdot (x+y)
$$
步骤 5：简化表达式
将上述表达式简化，得到：
$$
\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right| = x^2y + xy^2 + xy^2 + x^2y - x^3 - xy^2 - x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2
$$
步骤 6：提取公因式
提取公因式，得到：
$$
\left| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\\end{matrix} \right| = -2(x^3 + y^3)
$$