题目

求通过点(2,1,3)且与直线(2,1,3)和(2,1,3)平行的直线的方程.

求通过点 $(2,1,3)$ 且与直线 $2x-y-3z=0$ 和 $x+2y-5z=1$ 平行的直线的方程.

题目解答

设所求直线的方向向量为 $(a,b,c)$ .

已知所求直线与直线 $2x-y-3z=0$ 平行，则它们的方向向量平行，可得 $\frac{a}{2}=\frac{b}{-1}=\frac{c}{-3}=k$ .

则 $a=2k，b=-k，c=-3k$ .

又因为所求直线过点 $(2,1,3)$ ，所以可得直线方程为：

$\begin{cases} \frac{x-2}{2k}=\frac{y-1}{-k}=\frac{z-3}{-3k} \\ 2\times2-1-3\times3=0 \end{cases}$

再由所求直线与直线 $x+2y-5z=1$ 平行，可得 $\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{-5}=k'$

则 $a=k'，b=2k'，c=-5k'$ .

将点 $(2,1,3)$ 代入可得：

$\begin{cases} \frac{x-2}{k'}=\frac{y-1}{2k'}=\frac{z-3}{-5k'} \\ 2+2\times1-5\times3=0 \end{cases}$

则直线方程为 $\frac{x-2}{2k}=\frac{y-1}{-k}=\frac{z-3}{-3k}$ .

又因为所求直线与直线 $x+2y-5z=1$ 平行，所以 $\frac{2k}{1}=\frac{-k}{2}=\frac{-3k}{-5}$ ，解得 $k=2$ .

则所求直线的方向向量为 $(4,-2,-6)$ ，直线方程为 $\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-6}$ .

可化简为 $x-2=2(y-1)=-3(z-3)$ ，即 $x-2=2y-2=-3z+9$ .

故所求直线的方程为 $x-2=2y-2=-3z+9$ .