设二维随机变量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点-|||-的三角形区域上服从均匀分布,求随机变量 =x+y 的-|||-期望和方差.

本题考查二维均匀分布随机变量函数的期望和方差计算，关键是先确定二维随机变量的概率密度函数，再通过卷积公式或先求分布函数再求密度函数的方法得到$Z=X+Y$的概率密度，最后计算期望和方差。

步骤1：确定$(X,Y)$的概率密度函数

二维随机变量$(X,Y)$在以$(0,1),(1,0),(1,1)$为顶点的三角形区域$D$上均匀分布。

• 区域$D$的面积：三角形底和高均为1，面积$S=\frac{1}{}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$。
• 均匀分布的概率密度：$f(x,y)=\begin{cases}2 & (x,y)\in D \\0 & \text{其他}\end{cases}$，其中$D$满足$\begin{cases}0\leq x\leq1 \\0\leq y\leq1 \\x+y\geq1\end{cases}$。

步骤2：求$Z=X+Y$的分布函数$F_Z(z)$

分布函数$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(X+Y\leq z)$，需分区间讨论：

1. $z<1$：** $X+Y\leq z$与$D$无交集，$F(z)=0$。
2. **$1\leq z<2$：积分区域为$D$中$x+y\leq z$的部分，即$\(x$从$0$到$z-1$，$y$从$1-x$到$z-x$；$x$从$z-1$到$1$，$y从$从$1-x$到$1$)。
   $F(z)=\int_{0}^{z-1}dx\int_{1-x}^{z-x}2dy+\int_{z-1}^{1}dx\int_{1-x}^{1}2dy=z^2-2z+1$
3. $z\geq2$： $X+Y\leq z$覆盖整个$D$，$F(z)=1$。

步骤3：求$Z$的概率密度$f_Z(z)$

对$F(z)$求导：
$f(z)=\begin{cases}2(z-1) & 1\leq z<2 \\0 & \text{其他}\end{cases}$

步骤4：计算期望$E(Z)$和方差$D(Z)$

期望$E(Z)$

$E(Z)=\int_{-\infty}^{\infty}zf(z)dz=\int_{1}^{2}z\cdot2(z-1)dz=2\int_{1^{2}(z^2-z)dz=\frac{4}{3}$

方差$D(Z)$

先算$E(Z^2)$：
$E(Z^2)=\int_{1}^{2}z^2\cdot2(z-1)dz=2\int_{1}^{2}(z^3-z^2)dz=\frac{11}{6}$
方差$D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=\frac{11}{6}-\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{1}{18}$