题目
[题目]函数 =(x)^3+(y)^3 在点 (-1,2) 处增加最快的方向-|||-是()-|||-A.(dfrac (1)(sqrt {17)}cdot dfrac (4)(sqrt {17)})-|||-B (-dfrac (1)(sqrt {17)}-dfrac (4)(sqrt {17)})-|||-C.(-dfrac (1)(sqrt {5)},dfrac (2)(sqrt {5)})-|||-D.(dfrac (1)(sqrt {5)}-dfrac (2)(sqrt {5)})
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算梯度
函数 $z={x}^{3}+{y}^{3}$ 的梯度为 $\nabla z = (\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}) = (3x^2, 3y^2)$。
步骤 2：计算梯度在点 (-1,2) 处的值
将点 (-1,2) 代入梯度公式，得到 $\nabla z(-1,2) = (3(-1)^2, 3(2)^2) = (3, 12)$。
步骤 3：计算单位方向向量
单位方向向量为 $\frac{\nabla z(-1,2)}{|\nabla z(-1,2)|} = \frac{(3, 12)}{\sqrt{3^2 + 12^2}} = \frac{(3, 12)}{\sqrt{153}} = \frac{(3, 12)}{3\sqrt{17}} = (\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}})$。
函数 $z={x}^{3}+{y}^{3}$ 的梯度为 $\nabla z = (\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}) = (3x^2, 3y^2)$。
步骤 2：计算梯度在点 (-1,2) 处的值
将点 (-1,2) 代入梯度公式，得到 $\nabla z(-1,2) = (3(-1)^2, 3(2)^2) = (3, 12)$。
步骤 3：计算单位方向向量
单位方向向量为 $\frac{\nabla z(-1,2)}{|\nabla z(-1,2)|} = \frac{(3, 12)}{\sqrt{3^2 + 12^2}} = \frac{(3, 12)}{\sqrt{153}} = \frac{(3, 12)}{3\sqrt{17}} = (\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}})$。