一、设f(z)=(1)/(2i)((z)/(overline(z))-(overline(z))/(z)),z≠0.试证：当z→0时，f(z)的极限不存在.
题目解答
答案
令 $ z = x + iy $，则 $ \overline{z} = x - iy $。将 $ z $ 和 $ \overline{z} $ 代入函数 $ f(z) $，得
$f(z) = \frac{1}{2i} \left( \frac{z}{\overline{z}} - \frac{\overline{z}}{z} \right) = \frac{1}{2i} \left( \frac{x+iy}{x-iy} - \frac{x-iy}{x+iy} \right).$
化简括号内的表达式：
$\frac{x+iy}{x-iy} = \frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2} = \frac{x^2 - y^2 + 2ixy}{x^2 + y^2},$
$\frac{x-iy}{x+iy} = \frac{(x-iy)^2}{x^2+y^2} = \frac{x^2 - y^2 - 2ixy}{x^2 + y^2}.$
因此，
$f(z) = \frac{1}{2i} \left( \frac{x^2 - y^2 + 2ixy}{x^2 + y^2} - \frac{x^2 - y^2 - 2ixy}{x^2 + y^2} \right) = \frac{1}{2i} \cdot \frac{4ixy}{x^2 + y^2} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}.$
当 $ z \to 0 $ 时，即 $ (x, y) \to (0, 0) $。沿不同路径趋近原点：
- 沿 $ y = 0 $，$ f(z) = \frac{2x \cdot 0}{x^2 + 0^2} = 0 $，极限为0；
- 沿 $ y = kx $，$ f(z) = \frac{2x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2} = \frac{2kx^2}{(1 + k^2)x^2} = \frac{2k}{1 + k^2} $，极限为 $ \frac{2k}{1 + k^2} $，依赖于 $ k $。
由于极限值随路径变化，当 $ z \to 0 $ 时，$ f(z) $ 的极限不存在。
结论： 当 $ z \to 0 $ 时，$ f(z) $ 的极限不存在。
解析
考查要点：本题主要考查复变函数在原点处的极限是否存在，需要掌握复数运算、极限的路径依赖性判断方法。
解题核心思路：将复数函数$f(z)$转化为实数表达式，通过沿不同路径趋近于原点，验证极限是否唯一。若存在不同路径导致极限值不同，则原极限不存在。
破题关键点：
- 复数分解：将$z = x + iy$代入函数，展开并化简表达式。
- 路径选择：沿坐标轴和直线路径趋近原点，计算极限值。
- 矛盾结论：通过不同路径得到不同极限值，证明原极限不存在。
步骤1：将复数分解为实部与虚部
设$z = x + iy$，则$\overline{z} = x - iy$。代入函数$f(z)$：
$f(z) = \frac{1}{2i} \left( \frac{x+iy}{x-iy} - \frac{x-iy}{x+iy} \right).$
步骤2：化简分数表达式
计算$\frac{x+iy}{x-iy}$和$\frac{x-iy}{x+iy}$：
$\frac{x+iy}{x-iy} = \frac{(x+iy)^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2 + 2ixy}{x^2 + y^2},$
$\frac{x-iy}{x+iy} = \frac{(x-iy)^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2 - 2ixy}{x^2 + y^2}.$
步骤3：代入并化简函数
将上述结果代入$f(z)$：
$f(z) = \frac{1}{2i} \left( \frac{x^2 - y^2 + 2ixy}{x^2 + y^2} - \frac{x^2 - y^2 - 2ixy}{x^2 + y^2} \right).$
括号内相减后，虚部保留，实部抵消：
$f(z) = \frac{1}{2i} \cdot \frac{4ixy}{x^2 + y^2} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}.$
步骤4：沿不同路径趋近原点
- 沿$y = 0$（x轴）：此时$f(z) = \frac{2x \cdot 0}{x^2} = 0$，极限为$0$。
- 沿$y = kx$（直线路径）：代入得：
$f(z) = \frac{2x(kx)}{x^2 + (kx)^2} = \frac{2k}{1 + k^2}.$
极限值为$\frac{2k}{1 + k^2}$，依赖于$k$的取值。
结论：不同路径对应不同极限值，故$f(z)$在$z \to 0$时极限不存在。