题目
两人相约7点到8点之间会面,先到者至多等20分钟,过时不候,设每人在这段时间内任何时刻到达的可能性相同,且两人到达的时刻是独立的,求两人会面的概率。
两人相约7点到8点之间会面,先到者至多等20分钟,过时不候,设每人在这段时间内任何时刻到达的可能性相同,且两人到达的时刻是独立的,求两人会面的概率。
题目解答
答案
解:
表示甲,已两人到达的时刻,
~
,概率密度为:
因独立,故联合密度为:
会面的概率为:
05级概率统计(48学时)试卷
一 填空题(4分×10题)
1掷一颗骰子,观察出现的点数,请写出该随机试验的样本空间。
2设
为三个事件,则都发生应表示为
3设
为两事件,且,则
的最大值为
解析
步骤 1：定义随机变量
设X和Y分别表示两人到达的时间，其中X和Y的取值范围为[0, 60]分钟，表示从7点到8点的这段时间。X和Y是独立的随机变量，且它们的分布是均匀分布。
步骤 2：确定会面条件
两人会面的条件是两人到达的时间差不超过20分钟，即$|X-Y|\leqslant 20$。
步骤 3：计算会面概率
会面的概率可以通过计算满足$|X-Y|\leqslant 20$的区域面积与整个可能区域的面积之比来得到。整个可能区域是一个边长为60的正方形，面积为$60\times 60=3600$。不满足会面条件的区域是两个边长为40的等腰直角三角形，每个三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 40\times 40=800$，因此不满足会面条件的总面积为$2\times 800=1600$。所以满足会面条件的区域面积为$3600-1600=2000$。因此，会面的概率为$\frac{2000}{3600}=\frac{5}{9}$。
设X和Y分别表示两人到达的时间，其中X和Y的取值范围为[0, 60]分钟，表示从7点到8点的这段时间。X和Y是独立的随机变量，且它们的分布是均匀分布。
步骤 2：确定会面条件
两人会面的条件是两人到达的时间差不超过20分钟，即$|X-Y|\leqslant 20$。
步骤 3：计算会面概率
会面的概率可以通过计算满足$|X-Y|\leqslant 20$的区域面积与整个可能区域的面积之比来得到。整个可能区域是一个边长为60的正方形，面积为$60\times 60=3600$。不满足会面条件的区域是两个边长为40的等腰直角三角形，每个三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 40\times 40=800$，因此不满足会面条件的总面积为$2\times 800=1600$。所以满足会面条件的区域面积为$3600-1600=2000$。因此，会面的概率为$\frac{2000}{3600}=\frac{5}{9}$。