例3 由抛物线y=x^2与直线y=x和y=ax所围成的平面图形面积S=(7)/(6)，求a的值(a>1).

本题考查利用定积分求求平面图形的面积。解题思路是先求出抛物线与两条直线的交点坐标，然后根据交点坐标将所求图形的面积分割成两部分，分别计算这两部分的面积，最后根据总面积的值求解$a$。

步骤一：求交点坐标

联立抛物线$y = x^2$与直线$y = x$的方程$\begin{cases}y = x^2\\y = x\end{cases}$，将$y = x$代入$1)式可得\(x = x^2$，移项得到$x^2 - x = 0$，提取公因式提取$x$得$x(x - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$，对应的$y$值分别为$0$和$1$，所以交点坐标为$(0,0)$和$(1,1)$。
联立抛物线$y = x^2$与直线$y = ax$方程$\begin{cases}y = x^2\\y = ax\end{cases}$，将$4)式代入(3)式可得\(x = ax^2$，移项得到$ax^2 - x = 0$，公因式提取$x$得$x(ax - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = \frac{1}{a}$，对应的$y$值分别为$0$和$a$，交点坐标为$(0,0)$和$(a,a^2)$（$a>1$）。

步骤二：计算两部分面积

• 从$x = 0$到$x = 1$的面积：
  在区间$[0,1]$上，直线$y = ax$在直线$y = x$上方，所以这部分面积为$\int_0^1 (ax - x^2) \, dx - \int_0^1 (x - x^2) \, dx$。
  根据定积分的运算法则$\int_0^1 (f(x)-g(x))dx=\int_0^1 f(x)dx-\int_0^1 g(x)dx$，可得：
  $\int_0^1 (ax - x^2) \, dx - \int_0^1 (x - x^2) \, dx=\int_0^1 (ax - x^2-(x - x^2))dx=\int_0^1 (ax - 1)x dx$
  根据定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq - 1)$可得：
  $\int_0^1 (a - 1)x dx=(a - 1)\int_0^1 x dx=(a - 1)\times[\frac{1}{2}x^2]_0^1]=(a - 1)\times(\frac{1}{2}\times1^2-\frac{1}{2}\times0^2)=\frac{a - 1}{2}$
• 从$x = 1$到$x = a$的面积：
  在区间$[1,a]$上，直线$y = ax$在抛物线$y = x^2$上方，所以这部分面积为$\int_1^a (ax - x^2) \, dx$。
  根据定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq - 1)$可得：
  $\int_1^a (ax - x^2) \, dx=[\frac{1}{2}ax^2-\frac{1}{3}x^3]_1^a=(\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{3}a^3)-(\frac{1}{2}\times1^2-\frac{1}{3}\times1^3)=\frac{a^3}{6}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3}$

步骤三：计算总面积并求解$a$

总面积$S$为两部分面积之和，即$S = \frac{a - 1}{2} + \frac{a^3}{6} - \frac{a}{2} + \frac{1}{3}$。
对$S$进行化简：
[
$S=\frac{a - 1}{2} + \frac{a^3}{6} - \frac{a}{2} + \frac{3}=\frac{3(a - 1)+a^3 - 3a + 2}{6}=\frac{a^3 - 1}{6}$
已知$S = \frac{7}{6}$，则$\frac{a^3 - 1}{6}=\frac{6}$，等式两边同时乘以$6$得$a^3 - 1 = 7$，移项可得$a^3 = 8$，解得$a = 2$。