题目

若AB = emptyset，则事件A, B一定相互独立().A. 正确B. 错误

若$AB = \emptyset$，则事件$A, B$一定相互独立().

A. 正确

B. 错误

题目解答

答案

若 $ AB = \emptyset $，则事件 $ A $ 和 $ B $ 互斥，即 $ P(AB) = 0 $。 对于事件独立性，需满足 $ P(AB) = P(A)P(B) $。 当 $ P(A) > 0 $ 且 $ P(B) > 0 $ 时，$ P(A)P(B) > 0 $，此时 $ P(AB) \neq P(A)P(B) $，事件不独立。 仅当 $ P(A) = 0 $ 或 $ P(B) = 0 $ 时，才满足独立性条件，但题目未给出概率值，无法假设。 因此，仅从 $ AB = \emptyset $ 无法得出 $ A $ 和 $ B $ 一定独立的结论。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题考查事件的互斥性与独立性的概念及关系。解题的关键在于明确互斥事件和独立事件的定义，然后根据已知条件判断事件$A$和$B$是否满足独立事件的条件。

  1. 明确互斥事件和独立事件的定义：
    • 若$AB = \emptyset$，则称事件$A$与$B$互斥，根据概率的基本性质可知$P(AB)=0$。
    • 若事件$A$与$B$相互独立，则需满足$P(AB) = P(A)P(B)$。
  2. 分情况讨论$P(A)$和$P(B)$的值：
    • 当$P(A)>0$且$P(B)>0$时，根据不等式的性质，两个正数相乘结果仍为正数，所以$P(A)P(B)>0$。
    • 而前面已经得出$P(AB) = 0$，此时$P(AB)\neq P(A)P(B)$，这表明事件$A$和$B$不满足独立事件的条件，即事件$A$和$B$不独立。
    • 当$P(A) = 0$或$P(B) = 0$时，根据乘法的性质，只要其中一个因数为$0$，则乘积为$0$，所以$P(A)P(B)=0$，此时$P(AB) = P(A)P(B)$，事件$A$和$B$满足独立事件的条件。
  3. 综合判断：
    题目中仅给出$AB = \emptyset$，并没有给出$P(A)$和$P(B)$的具体值，所以不能确定$P(A)$和$P(B)$是否为$0$，也就无法得出事件$A$和$B$一定相互独立的结论。