题目
真空中有一半径为R的圆平面,在通过圆心O且与平面垂直的轴线上一点P处,有一电量为q 的点电荷,O、P间距离为h,试求通过该圆平面的电通量。
真空中有一半径为R的圆平面,在通过圆心O且与平面垂直的轴线上一点P处,有一电量为q 的点电荷,O、P间距离为h,试求通过该圆平面的电通量。
题目解答
答案
解:过该圆平面边缘作一半径为
的球冠,则此球冠的球心恰在P处;
的球冠,则此球冠的球心恰在P处;该球冠的曲面面积为
由高斯定理可知,圆平面的电通量等于球冠曲面的通量,故有:
解析
步骤 1：确定高斯面
为了计算通过圆平面的电通量，我们选择一个高斯面，该高斯面是一个以点电荷q为球心，半径为$r=\sqrt{R^2+h^2}$的球冠。球冠的底面与圆平面重合，顶点在点电荷q处。
步骤 2：计算球冠的曲面面积
球冠的曲面面积$S$可以通过公式$S=2\pi rh'$计算，其中$r$是球冠的半径，$h'$是球冠的高度。球冠的高度$h'$等于球冠的半径$r$减去点电荷q到圆平面的距离$h$，即$h'=r-h$。因此，球冠的曲面面积$S$为$S=2\pi r(r-h)$。
步骤 3：应用高斯定理
根据高斯定理，通过高斯面的电通量等于高斯面内电荷的代数和除以真空介电常数$\varepsilon_0$。因此，通过圆平面的电通量$\Phi$等于球冠曲面的电通量，即$\Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}S$。将球冠的曲面面积$S$代入，得到$\Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}2\pi r(r-h)=\frac{q}{2\varepsilon_0}(1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}})$。
为了计算通过圆平面的电通量，我们选择一个高斯面，该高斯面是一个以点电荷q为球心，半径为$r=\sqrt{R^2+h^2}$的球冠。球冠的底面与圆平面重合，顶点在点电荷q处。
步骤 2：计算球冠的曲面面积
球冠的曲面面积$S$可以通过公式$S=2\pi rh'$计算，其中$r$是球冠的半径，$h'$是球冠的高度。球冠的高度$h'$等于球冠的半径$r$减去点电荷q到圆平面的距离$h$，即$h'=r-h$。因此，球冠的曲面面积$S$为$S=2\pi r(r-h)$。
步骤 3：应用高斯定理
根据高斯定理，通过高斯面的电通量等于高斯面内电荷的代数和除以真空介电常数$\varepsilon_0$。因此，通过圆平面的电通量$\Phi$等于球冠曲面的电通量，即$\Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}S$。将球冠的曲面面积$S$代入，得到$\Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}2\pi r(r-h)=\frac{q}{2\varepsilon_0}(1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}})$。