题目
9、填空 向量组alpha_(1)=(1,1,2,-2),alpha_(2)=(1,3,-x,-2x),alpha_(3)=(1,-1,6,0)的秩为2，则x=（）.
9、填空 向量组
$\alpha_{1}=(1,1,2,-2),\alpha_{2}=(1,3,-x,-2x),\alpha_{3}=(1,-1,6,0)$的秩为2，则x=（）.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵并进行初等行变换：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
2 & -x & 6 \\
-2 & -2x & 0
\end{pmatrix}
\]
消去第一列后得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & -x-2 & 4 \\
0 & -2x+2 & 2
\end{pmatrix}
\]
继续消去第二列，使第三行全为零：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 2-x \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
为使秩为2，需 $2-x=0$，解得 $x=2$。
**答案：** $\boxed{2}$
解析
步骤 1：构造矩阵
将向量组 $\alpha_{1}=(1,1,2,-2),\alpha_{2}=(1,3,-x,-2x),\alpha_{3}=(1,-1,6,0)$ 构成矩阵 A：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -x & 6 \\ -2 & -2x & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 2：初等行变换
对矩阵 A 进行初等行变换，消去第一列：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & -x-2 & 4 \\ 0 & -2x+2 & 2 \end{pmatrix} \]
步骤 3：继续消去第二列
继续对矩阵进行初等行变换，使第三行全为零：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2-x \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 4：确定秩为2的条件
为使矩阵的秩为2，需使第三行的第三个元素为0，即 $2-x=0$，解得 $x=2$。
将向量组 $\alpha_{1}=(1,1,2,-2),\alpha_{2}=(1,3,-x,-2x),\alpha_{3}=(1,-1,6,0)$ 构成矩阵 A：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -x & 6 \\ -2 & -2x & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 2：初等行变换
对矩阵 A 进行初等行变换，消去第一列：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & -x-2 & 4 \\ 0 & -2x+2 & 2 \end{pmatrix} \]
步骤 3：继续消去第二列
继续对矩阵进行初等行变换，使第三行全为零：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2-x \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 4：确定秩为2的条件
为使矩阵的秩为2，需使第三行的第三个元素为0，即 $2-x=0$，解得 $x=2$。