五、(16分)设二维随机变量(X,Y)服从区域D=(x,y)mid x>0,y>0,x^2+y^2leqslant 1上的二维均匀分布。X与Y是否独立?为什么?(8分)E(max(X,Y)) (8分)

为了确定 $X$ 和 $Y$ 是否独立，以及找到 $E(\max\{X,Y\})$，我们将分步骤进行。 ### 第一步：确定 $X$ 和 $Y$ 的联合密度函数 区域 $D$ 是第一象限中半径为1的四分之一圆盘，由 $x > 0$，$y > 0$，和 $x^2 + y^2 \leq 1$ 定义。该区域的面积为 $\frac{\pi}{4}$。由于 $(X, Y)$ 服从 $D$ 上的均匀分布，联合密度函数 $f(x, y)$ 为： \[ f(x, y) = \frac{4}{\pi} \quad \text{对于} \quad (x, y) \in D, \quad \text{否则为} \quad 0. \] ### 第二步：确定 $X$ 和 $Y$ 的边缘密度函数 $X$ 的边缘密度函数 $f_X(x)$ 通过关于 $y$ 积分联合密度函数得到： \[ f_X(x) = \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{4}{\pi} \, dy = \frac{4}{\pi} \sqrt{1-x^2} \quad \text{对于} \quad 0 < x < 1, \quad \text{否则为} \quad 0. \] 同样，$Y$ 的边缘密度函数 $f_Y(y)$ 通过关于 $x$ 积分联合密度函数得到： \[ f_Y(y) = \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}} \frac{4}{\pi} \, dx = \frac{4}{\pi} \sqrt{1-y^2} \quad \text{对于} \quad 0 < y < 1, \quad \text{否则为} \quad 0. \] ### 第三步：检查 $X$ 和 $Y$ 是否独立 为了使 $X$ 和 $Y$ 独立，联合密度函数必须等于边缘密度函数的乘积： \[ f(x, y) = f_X(x) f_Y(y). \] 然而， \[ f(x, y) = \frac{4}{\pi} \quad \text{和} \quad f_X(x) f_Y(y) = \left(\frac{4}{\pi} \sqrt{1-x^2}\right) \left(\frac{4}{\pi} \sqrt{1-y^2}\right) = \frac{16}{\pi^2} \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}. \] 由于 $f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y)$，$X$ 和 $Y$ 不是独立的。 ### 第四步：找到 $E(\max\{X, Y\})$ 为了找到 $E(\max\{X, Y\})$，我们使用最大值的期望公式： \[ E(\max\{X, Y\}) = \iint_D \max\{x, y\} f(x, y) \, dx \, dy. \] 由于区域 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称，我们可以将积分分为两部分：一部分 $x \geq y$，另一部分 $x < y$。这两部分的贡献相同，因此我们可以只计算 $x \geq y$ 的部分，然后乘以2： \[ E(\max\{X, Y\}) = 2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x \cdot \frac{4}{\pi} \, dy \, dx. \] 首先，关于 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{x} x \cdot \frac{4}{\pi} \, dy = x \cdot \frac{4}{\pi} \cdot x = \frac{4x^2}{\pi}. \] 然后，关于 $x$ 积分： \[ 2 \int_{0}^{1} \frac{4x^2}{\pi} \, dx = \frac{8}{\pi} \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{8}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{8}{\pi} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3\pi}. \] 因此，$\max\{X, Y\}$ 的期望值为： \[ \boxed{\frac{8}{3\pi} + \frac{\sqrt{2}}{3}}. \]