题目
[例 1-14] 求 lim _(xarrow -1)(dfrac (1)(x+1)-dfrac (3)({x)^3+1})
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到当 $x \rightarrow -1$ 时，直接代入 $x = -1$ 会导致分母为零，因此我们需要对表达式进行化简。我们可以通过通分来简化表达式。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\left(\dfrac {1}{x+1}-\dfrac {3}{{x}^{3}+1}\right)
$$
步骤 2：通分
将两个分式通分，得到一个共同的分母。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {(x+1)(x-2)}{(x+1)({x}^{2}-x+1)}
$$
步骤 3：简化表达式
由于分子和分母都有 $(x+1)$，我们可以约去这个公共因子。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {x-2}{{x}^{2}-x+1}
$$
步骤 4：求极限
现在，我们可以直接代入 $x = -1$ 来求极限。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {x-2}{{x}^{2}-x+1} = \dfrac {-1-2}{(-1)^{2}-(-1)+1} = \dfrac {-3}{1+1+1} = \dfrac {-3}{3} = -1
$$
首先，我们注意到当 $x \rightarrow -1$ 时，直接代入 $x = -1$ 会导致分母为零，因此我们需要对表达式进行化简。我们可以通过通分来简化表达式。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\left(\dfrac {1}{x+1}-\dfrac {3}{{x}^{3}+1}\right)
$$
步骤 2：通分
将两个分式通分，得到一个共同的分母。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {(x+1)(x-2)}{(x+1)({x}^{2}-x+1)}
$$
步骤 3：简化表达式
由于分子和分母都有 $(x+1)$，我们可以约去这个公共因子。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {x-2}{{x}^{2}-x+1}
$$
步骤 4：求极限
现在，我们可以直接代入 $x = -1$ 来求极限。
$$
\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {x-2}{{x}^{2}-x+1} = \dfrac {-1-2}{(-1)^{2}-(-1)+1} = \dfrac {-3}{1+1+1} = \dfrac {-3}{3} = -1
$$