题目

设A，B，C为三个随机事件，已知(A)=P(B)=P(C)=dfrac (1)(4)，其中A，C互不相容，(A)=P(B)=P(C)=dfrac (1)(4)，求A，B，C至少有一个发生的概率。

设A，B，C为三个随机事件，已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$ ，其中A，C互不相容， $P(AB)=P(BC)=\frac{1}{12}$ ，求A，B，C至少有一个发生的概率。

题目解答

答案

A，C互不相容，则 $AC=\varnothing$ ，则 $ABC=\varnothing$ ，则 $P\left(AC\right)=0,P\left(ABC\right)=0$ ，

则A，B，C至少有一个发生的概率为 $P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)$ $-P\left(AB\right)-P\left(AC\right)-P\left(BC\right)+P\left(ABC\right)$ $=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}-0-\frac{1}{12}+0=\frac{7}{12}$ .

解析

步骤 1：确定事件互不相容的性质
由于A和C互不相容，即$A\cap C=\varnothing$，因此$P(AC)=0$。同时，由于$A\cap C=\varnothing$，则$A\cap B\cap C=\varnothing$，因此$P(ABC)=0$。

步骤 2：应用概率加法公式
根据概率加法公式，A，B，C至少有一个发生的概率为$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$。

步骤 3：代入已知概率值
将已知的概率值代入公式中，得到$P(A\cup B\cup C)=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}-\dfrac {1}{12}-0-\dfrac {1}{12}+0$。

步骤 4：计算结果
计算上述表达式，得到$P(A\cup B\cup C)=\dfrac {3}{4}-\dfrac {1}{6}=\dfrac {9}{12}-\dfrac {2}{12}=\dfrac {7}{12}$。