[例11]已知 y=y(x) 是由方程 ^xy+(x)^2-y+4=0 确定的隐函数,则 dfrac (dy)(dx)= ()-|||-A. +y(e)^xy B. dfrac (1+y{e)^xy}(2x-x{e)^x} C. dfrac (2x-y{e)^xy}(1+x{e)^x} D. dfrac (2x+y{e)^xy}(1-x{e)^xy}

步骤 1：对给定的方程进行隐函数求导
给定方程为 ${e}^{xy}+{x}^{2}-y+4=0$。对这个方程两边同时对 $x$ 求导，得到：
$$
\frac{d}{dx}({e}^{xy}) + \frac{d}{dx}({x}^{2}) - \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(4) = 0
$$
步骤 2：计算各部分的导数
- 对 ${e}^{xy}$ 求导，使用链式法则和乘积法则，得到：
$$
\frac{d}{dx}({e}^{xy}) = {e}^{xy} \cdot (y + x\frac{dy}{dx})
$$
- 对 ${x}^{2}$ 求导，得到：
$$
\frac{d}{dx}({x}^{2}) = 2x
$$
- 对 $y$ 求导，得到：
$$
\frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}
$$
- 对常数 $4$ 求导，得到：
$$
\frac{d}{dx}(4) = 0
$$
步骤 3：将各部分的导数代入原方程
将上述导数代入原方程，得到：
$$
{e}^{xy} \cdot (y + x\frac{dy}{dx}) + 2x - \frac{dy}{dx} = 0
$$
步骤 4：整理方程，解出 $\frac{dy}{dx}$
将方程整理为：
$$
{e}^{xy} \cdot y + {e}^{xy} \cdot x\frac{dy}{dx} + 2x - \frac{dy}{dx} = 0
$$
将 $\frac{dy}{dx}$ 项移到方程的一边，得到：
$$
{e}^{xy} \cdot x\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = -{e}^{xy} \cdot y - 2x
$$
提取 $\frac{dy}{dx}$，得到：
$$
\frac{dy}{dx}({e}^{xy} \cdot x - 1) = -{e}^{xy} \cdot y - 2x
$$
解出 $\frac{dy}{dx}$，得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{-{e}^{xy} \cdot y - 2x}{{e}^{xy} \cdot x - 1}
$$
化简得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{2x + y{e}^{xy}}{1 - x{e}^{xy}}
$$