分别按下列条件求平面方程: (1)平行于zOx面且经过点(2, -5, 3); (2)通过z轴和点(-3, 1, -2); (3)平行于x轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7).

解(1) 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为

0∙(x-2)-5(y+5)+0∙(z-3)=0, 即y=-5.

(2) 所求平面可设为Ax+By=0.

因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以

-3A+B=0,

将B=3A代入所设方程得

Ax+3Ay=0,

所以所求的平面的方程为

x+3y=0,

(3) 所求平面的法线向量可设为n=(0, b, c). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n是垂直的, 即

b+9c=0, b=-9c ,

于是 n=(0, -9c, c)=-c(0, 9, -1).

所求平面的方程为