题目
函数(x)=dfrac (1)(3)(x)^3+dfrac (1)(2)(x)^2的单调递增区间是( )A．(x)=dfrac (1)(3)(x)^3+dfrac (1)(2)(x)^2B．(x)=dfrac (1)(3)(x)^3+dfrac (1)(2)(x)^2C．(x)=dfrac (1)(3)(x)^3+dfrac (1)(2)(x)^2D．(x)=dfrac (1)(3)(x)^3+dfrac (1)(2)(x)^2
函数
的单调递增区间是( )
的单调递增区间是( )A． | B． |
C． | D． |
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$f(x)=\dfrac {1}{3}{x}^{3}+\dfrac {1}{2}{x}^{2}$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有$f'(x)=x^2+x$。
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数$f'(x)=x^2+x$的零点。解方程$x^2+x=0$，我们得到$x(x+1)=0$，因此$x=0$或$x=-1$。
步骤 3：确定单调递增区间
最后，我们需要确定函数$f(x)$的单调递增区间。根据导数的符号，当$f'(x)>0$时，函数$f(x)$单调递增。因此，我们需要找到$f'(x)=x^2+x>0$的区间。由于$f'(x)=x(x+1)$，我们可以看到当$x<-1$或$x>0$时，$f'(x)>0$。因此，函数$f(x)$的单调递增区间是$(-\infty ,-1)$和$(0,+\infty )$。
首先，我们需要求出函数$f(x)=\dfrac {1}{3}{x}^{3}+\dfrac {1}{2}{x}^{2}$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有$f'(x)=x^2+x$。
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数$f'(x)=x^2+x$的零点。解方程$x^2+x=0$，我们得到$x(x+1)=0$，因此$x=0$或$x=-1$。
步骤 3：确定单调递增区间
最后，我们需要确定函数$f(x)$的单调递增区间。根据导数的符号，当$f'(x)>0$时，函数$f(x)$单调递增。因此，我们需要找到$f'(x)=x^2+x>0$的区间。由于$f'(x)=x(x+1)$，我们可以看到当$x<-1$或$x>0$时，$f'(x)>0$。因此，函数$f(x)$的单调递增区间是$(-\infty ,-1)$和$(0,+\infty )$。