例10 设矩阵A=(}-2&1&10&2&0-4&1&3)问A能否对角化？若能，则求可逆矩阵P和对角矩阵A，使P^-1AP=A.

求得特征值为 $\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 2$。 对应特征向量： - $\lambda_1 = -1$：$p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ - $\lambda_2 = \lambda_3 = 2$：$p_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$p_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ 特征向量线性无关，故可对角化。 取 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$，则 $\Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。 **答案：** \[ \boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } \]