.int dfrac ({(x+1))^2}({({x)^2+1)}^2}dx.

考查要点：本题主要考查分式积分的拆分与计算技巧，涉及有理函数的积分、换元积分法以及分部积分法的应用。

解题核心思路：

1. 展开分子，将被积函数拆分为多个简单分式的和，便于逐项积分。
2. 灵活变形：将分子中的$x^2$拆分为$(x^2+1)-1$，简化分式结构。
3. 抵消冗余项：通过拆分后的分式组合，发现部分积分项可相互抵消，减少计算量。
4. 换元积分：对含$2x$的分式直接使用换元法，快速求解。

破题关键点：

• 拆分技巧：将分子$x^2$变形为$(x^2+1)-1$，使分式拆分后出现可抵消的项。
• 抵消冗余：通过拆分后的分式组合，发现$-1/(x^2+1)^2$与$+1/(x^2+1)^2$抵消，简化计算。
• 换元法应用：对$\int \frac{2x}{(x^2+1)^2}dx$直接令$u = x^2+1$，快速求解。

原式展开与拆分：
$\begin{aligned}\int \frac{(x+1)^2}{(x^2+1)^2}dx &= \int \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}dx \\&= \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx + \int \frac{2x}{(x^2+1)^2}dx + \int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx\end{aligned}$

变形简化分式：
将$x^2$拆分为$(x^2+1)-1$，则第一项分式变形为：
$\frac{x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{(x^2+1)-1}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{(x^2+1)^2}$

代入并抵消冗余项：
原式变为：
$\begin{aligned}&\int \left( \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{(x^2+1)^2} \right) dx + \int \frac{2x}{(x^2+1)^2}dx + \int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx \\&= \int \frac{1}{x^2+1}dx + \int \frac{2x}{(x^2+1)^2}dx\end{aligned}$

逐项积分：

1. 第一项：
   $\int \frac{1}{x^2+1}dx = \arctan x + C_1$

2. 第二项（换元法）：
   令$u = x^2+1$，则$du = 2x dx$，积分变为：
   $\int \frac{2x}{(x^2+1)^2}dx = \int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C_2 = -\frac{1}{x^2+1} + C_2$

合并结果：
$\arctan x - \frac{1}{x^2+1} + C$