题目
21.设长方形的长(以m计) sim U(0,2) ,已知长方形的周长(以m计)为-|||-20.求长方形面积A的数学期望和方差.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定长方形的面积公式
长方形的周长为20，设长为X，宽为Y，则有 $2X + 2Y = 20$，即 $X + Y = 10$。因此，长方形的面积A为 $A = X \cdot Y = X \cdot (10 - X)$。
步骤 2：计算长方形面积的数学期望
由于 $X \sim U(0,2)$，其概率密度函数为 ${f}_{x}(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\lt x\lt 2\\ 0,\end{matrix} \right.$，则长方形面积的数学期望为：
$E(A) = E[X(10-X)] = \int_{0}^{2} x(10-x) \cdot \dfrac {1}{2} dx = \int_{0}^{2} (5x - \dfrac {1}{2}x^2) dx = (\dfrac {5}{2}x^2 - \dfrac {1}{6}x^3) \bigg|_{0}^{2} = \dfrac {26}{3} = 8.67$。
步骤 3：计算长方形面积的方差
首先计算 $E(A^2)$，即 $E[X^2(10-X)^2]$：
$E(A^2) = E[X^2(10-X)^2] = \int_{0}^{2} x^2(10-x)^2 \cdot \dfrac {1}{2} dx = \dfrac {1}{2} \int_{0}^{2} (100x^2 - 20x^3 + x^4) dx = \dfrac {1448}{15} = 96.53$。
然后，根据方差的定义，$D(A) = E(A^2) - [E(A)]^2 = \dfrac {1448}{15} - (\dfrac {26}{3})^2 = 21.42$。
长方形的周长为20，设长为X，宽为Y，则有 $2X + 2Y = 20$，即 $X + Y = 10$。因此，长方形的面积A为 $A = X \cdot Y = X \cdot (10 - X)$。
步骤 2：计算长方形面积的数学期望
由于 $X \sim U(0,2)$，其概率密度函数为 ${f}_{x}(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\lt x\lt 2\\ 0,\end{matrix} \right.$，则长方形面积的数学期望为：
$E(A) = E[X(10-X)] = \int_{0}^{2} x(10-x) \cdot \dfrac {1}{2} dx = \int_{0}^{2} (5x - \dfrac {1}{2}x^2) dx = (\dfrac {5}{2}x^2 - \dfrac {1}{6}x^3) \bigg|_{0}^{2} = \dfrac {26}{3} = 8.67$。
步骤 3：计算长方形面积的方差
首先计算 $E(A^2)$，即 $E[X^2(10-X)^2]$：
$E(A^2) = E[X^2(10-X)^2] = \int_{0}^{2} x^2(10-x)^2 \cdot \dfrac {1}{2} dx = \dfrac {1}{2} \int_{0}^{2} (100x^2 - 20x^3 + x^4) dx = \dfrac {1448}{15} = 96.53$。
然后，根据方差的定义，$D(A) = E(A^2) - [E(A)]^2 = \dfrac {1448}{15} - (\dfrac {26}{3})^2 = 21.42$。