题目

22.设随机变量 approx U[ 2,5] , 现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3-|||-的概率.

题目解答

答案

答案: \\frac{20}{27} 解析:观察一次,观测值 P(x>3)=\\frac{5-3}{5-2}=\\frac{2}{3} 设Y为观测值大于3的次数 .P\\{Y\\ge2\\}=P\\{Y=2\\}+P\\{Y=3\\}=C_{3}^{2}(\\frac{2}{3})^{2}\\frac{1}{3}+(\\frac{2}{3})^{3}=\\frac{20}{27} 知识点:概率的计算

解析

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算以及二项分布的应用。
解题思路：

  1. 确定单次观测值大于3的概率：利用均匀分布的概率密度函数，计算区间长度占比。
  2. 建立二项分布模型：三次独立观测中，将“观测值大于3”视为成功，服从参数为$n=3$、成功概率$p=\frac{2}{3}$的二项分布。
  3. 计算至少两次成功的概率：即求$P(Y \geq 2)$，需分别计算$Y=2$和$Y=3$的概率后相加。

步骤1：计算单次观测值大于3的概率

随机变量$X \sim U[2,5]$，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{5-2} = \dfrac{1}{3}, & 2 \leq x \leq 5, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
观测值大于3的概率为区间$[3,5]$的长度占总区间$[2,5]$的比例：
$P(X > 3) = \dfrac{5-3}{5-2} = \dfrac{2}{3}.$

步骤2：建立二项分布模型

设$Y$为三次观测中“观测值大于3”的次数，则$Y \sim B\left(3, \dfrac{2}{3}\right)$。
需计算$P(Y \geq 2) = P(Y=2) + P(Y=3)$。

步骤3：计算各概率并求和

  • 当$Y=2$时：
    $P(Y=2) = C_3^2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \left(1-\dfrac{2}{3}\right)^{3-2} = 3 \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{12}{27}.$
  • 当$Y=3$时：
    $P(Y=3) = C_3^3 \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 1 \cdot \dfrac{8}{27} = \dfrac{8}{27}.$
  • 总概率：
    $P(Y \geq 2) = \dfrac{12}{27} + \dfrac{8}{27} = \dfrac{20}{27}.$