题目

13、下列关于事件的运算规律正确的是()(5分) squareA.AUB=BUA squareB.Acap B=Bcap A squareC.overline(A)=A squareD.Acup overline(B)=overline(A)Uoverline(B)

13、下列关于事件的运算规律正确的是()(5分) $\square$
A.AUB=BUA $\square$
B.$A\cap B=B\cap A$ $\square$
C.$\overline{A}=A$ $\square$
D.$A\cup \overline{B}=\overline{A}U\overline{B}$

题目解答

答案

**答案：A, B** **解析：** - **选项A：** 并集满足交换律，即 $A \cup B = B \cup A$，正确。 - **选项B：** 交集满足交换律，即 $A \cap B = B \cap A$，正确。 - **选项C：** 补集运算不满足 $\overline{A} = A$，错误。 - **选项D：** 等式两边不等价，如取全集 $\{1, 2, 3, 4\}$，$A = \{1, 2\}$，$B = \{2, 3\}$，则 $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 4\}$，$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 4\}$，不相等，错误。 **答案：A, B**

解析

本题考查集合运算的基本规律，包括并集、交集、补集以及集合运算中的等式关系。解题核心在于：

  1. 并集和交集的交换律：并集和交集运算满足交换律，即 $A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$；
  2. 补集的性质：补集运算的结果与原集合不相等；
  3. 德摩根定律的正确形式：需注意 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$，而非选项D中的形式。

选项A：$A \cup B = B \cup A$

并集的交换律成立。无论集合元素如何排列，合并后的结果始终相同。例如，若 $A = \{1, 2\}$，$B = \{3, 4\}$，则 $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$，与 $B \cup A$ 相同。正确。

选项B：$A \cap B = B \cap A$

交集的交换律成立。两集合的公共元素与顺序无关。例如，若 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，则 $A \cap B = \{2, 3\}$，与 $B \cap A$ 相同。正确。

选项C：$\overline{A} = A$

补集的定义要求 $\overline{A}$ 是全集中不属于 $A$ 的元素，因此 $\overline{A}$ 与 $A$ 互为补集，除非 $A$ 是空集或全集本身，否则一般情况下不成立。例如，若全集为 $\{1, 2, 3\}$，$A = \{1\}$，则 $\overline{A} = \{2, 3\} \neq A$。错误。

选项D：$A \cup \overline{B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

等式不成立。通过反例验证：设全集为 $\{1, 2, 3, 4\}$，$A = \{1, 2\}$，$B = \{2, 3\}$，则：

  • $A \cup \overline{B} = \{1, 2\} \cup \{1, 4\} = \{1, 2, 4\}$；
  • $\overline{A} \cup \overline{B} = \{3, 4\} \cup \{1, 4\} = \{1, 3, 4\}$；
    两者不相等。错误。