6.(2003,数学一)已知A= (} 3& 2& 2 2& 3& 2 2& 2& 3A'P, 求 B+2E 的特征值-|||-与特征向量.

步骤 1：计算矩阵 $A'$。
矩阵 $A'$ 是矩阵 $A$ 的转置，由于 $A$ 是对称矩阵，所以 $A'=A$。
步骤 2：计算矩阵 $B$。
根据题目，$B={P}^{-1}A'P$，由于 $A'=A$，所以 $B={P}^{-1}AP$。
步骤 3：计算矩阵 $P^{-1}$。
矩阵 $P$ 的逆矩阵 $P^{-1}$ 可以通过求解 $P$ 的伴随矩阵并除以 $P$ 的行列式来得到。计算得到 $P^{-1}=\left (\begin{matrix} 0& 1& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：计算矩阵 $B$。
将 $P^{-1}$ 和 $P$ 代入 $B={P}^{-1}AP$ 中，计算得到 $B=\left (\begin{matrix} 3& 2& 2\\ 2& 3& 2\\ 2& 2& 3\end{matrix} ) \right.$。
步骤 5：计算矩阵 $B+2E$。
矩阵 $B+2E$ 是矩阵 $B$ 加上 $2$ 倍的单位矩阵 $E$，计算得到 $B+2E=\left (\begin{matrix} 5& 2& 2\\ 2& 5& 2\\ 2& 2& 5\end{matrix} ) \right.$。
步骤 6：计算矩阵 $B+2E$ 的特征值。
矩阵 $B+2E$ 的特征值可以通过求解特征方程 $\det(B+2E-\lambda E)=0$ 来得到。计算得到特征值为 $9,9,3$。
步骤 7：计算矩阵 $B+2E$ 的特征向量。
对于每个特征值，可以通过求解 $(B+2E-\lambda E)x=0$ 来得到对应的特征向量。计算得到特征向量分别为 ${(1,-1,0)}^{T}$，${(-1,-1,1)}^{T}$，$(0,1,1)^T$。