设 (x)=dfrac ({e)^x-a}(x(x-1)) ,问a取何值时, x=1 是可去间断点,此时 x=0 是哪类间断点?

考查要点：本题主要考查函数间断点类型的判断，特别是可去间断点的条件，以及不同间断点类型的区分。

解题核心思路：

1. 可去间断点的条件：函数在该点的极限存在，但可能与函数值不相等或函数在该点无定义。因此，需通过极限存在性确定参数$a$的值。
2. 第二类间断点的判断：当极限不存在（如趋向无穷或振荡无界）时，需进一步判断具体类型（如无穷间断点）。

破题关键点：

• 分子分母同趋于0：当$x \to 1$时，分母$x(x-1) \to 0$，若极限存在，则分子$e^x - a$也需趋于0，从而确定$a = e$。
• 极限计算：通过洛必达法则或泰勒展开计算$x \to 1$时的极限，验证可去间断点的存在性。
• x=0处的极限分析：当$a = e$时，分析$x \to 0$时分子分母的趋势，判断极限是否趋向无穷。

确定$a$的值使$x=1$为可去间断点

1. 极限存在性条件
   当$x \to 1$时，分母$x(x-1) \to 0$，若极限$\lim_{x \to 1} f(x)$存在，则分子$e^x - a$也需趋于0，即：
   $e^1 - a = 0 \implies a = e.$

2. 验证极限存在性
   当$a = e$时，函数变为：
   $f(x) = \frac{e^x - e}{x(x-1)}.$
   此时分子和分母均趋于0，应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{e^x}{2x - 1} = \frac{e}{1} = e.$
   因此，极限存在，$x=1$是可去间断点。

分析$x=0$的间断点类型

当$a = e$时，函数为：
$f(x) = \frac{e^x - e}{x(x-1)}.$
当$x \to 0$时：

• 分子：$e^x - e \to 1 - e \neq 0$（常数项）。
• 分母：$x(x-1) \to 0 \cdot (-1) = 0$，且符号由$x$的正负决定。

因此：

• 当$x \to 0^+$：分母$x(x-1) \to 0^-$，分子为负，整体趋向$+\infty$。
• 当$x \to 0^-$：分母$x(x-1) \to 0^+$，分子为负，整体趋向$-\infty$。

由于左右极限均趋向无穷，但方向不同，故$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在，$x=0$为第二类间断点（无穷间断点）。