考虑一阶线性微分方程组 (dx)/(dt) = Ax，其中 A 是一个 n times n 的矩阵。如果 A 的特征值都是负实数，则该系统的解会如何？A. 发散B. 趋于无穷大C. 周期性变化D. 趋于零

本题考查一阶线性微分方程组的解的性质，解题的关键在于根据矩阵$A$的特征值情况来分析方程组解的行为。

对于一阶线性微分方程组$\frac{dx}{dt} = Ax$，设矩阵$A$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，对应的特征向量为$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n$。

1. 首先，该方程组的通解可以表示为$\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1 + c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2+\cdots + c_ne^{\lambda_nt}\mathbf{v}_n$，其中$c_1,c_2,\cdots,c_n$是由初始条件决定的常数。
2. 已知矩阵$A$的特征值都是负实数，即$\lambda_i<0$，$i = 1,2,\cdots,n$。
3. 当$t\to+\infty$时，对于每一项$e^{\lambda_it}$，根据指数函数的性质，因为$\lambda_i<0$，所以$\lim_{t\to+\infty}e^{\lambda_it}=0$。
4. 那么对于通解$\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1 + c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2+\cdots + c_ne^{\lambda_nt}\mathbf{v}_n$，有$\lim_{t\to+\infty}\mathbf{x}(t)=\lim_{t\to+\infty}(c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1 + c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2+\cdots + c_ne^{\lambda_nt}\mathbf{v}_n)$。
   • 根据极限的加法法则$\lim_{t\to+\infty}(a_1(t)+a_2(t)+\cdots + a_n(t))=\lim_{t\to+\infty}a_1(t)+\lim_{t\to+\infty}a_2(t)+\cdots+\lim_{t\to+\infty}a_n(t)$，可得$\lim_{t\to+\infty}\mathbf{x}(t)=c_1\lim_{t\to+\infty}e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1 + c_2\lim_{t\to+\infty}e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2+\cdots + c_n\lim_{t\to+\infty}e^{\lambda_nt}\mathbf{v}_n$。
   • 又因为$\lim_{t\to+\infty}e^{\lambda_it}=0$，$i = 1,2,\cdots,n$，所以$\lim_{t\to+\infty}\mathbf{x}(t)=c_1\times0\times\mathbf{v}_1 + c_2\times0\times\mathbf{v}_2+\cdots + c_n\times0\times\mathbf{v}_n=\mathbf{0}$。
   • 这表明当$t$趋于无穷大时，方程组的解趋于零。