设X sim N(0,1)，Phi(x) = (1)/(sqrt(2pi)) int_(-infty)^x e^-(t^2)/(2) dt，(x geq 0),则下列等式不成立的是( )A. Phi(x) = 1 - Phi(-x)B. Phi(0) = 0.5C. Phi(-x) = Phi(x)D. P(|X|

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布函数$\varPhi(x)$的相关性质。解题的关键在于理解标准正态分布的概率密度函数的对称性以及$\varPhi(x)$的定义，通过对各选项进行分析和推导来判断等式是否成立。

选项A

已知$\varPhi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$，$\varPhi(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{-x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$。
因为标准正态分布的概率密度函数$f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}}$关于$t = 0$对称，所以有：
$\varPhi(x) + \varPhi(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{-x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$
根据定积分的性质，$\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt + \int_{-\infty}^{-x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$，而$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \sqrt{2\pi}$。
则$\varPhi(x) + \varPhi(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\times\sqrt{2\pi}=1$，移项可得$\varPhi(x) = 1 - \varPhi(-x)$，所以选项A成立。

选项B

$\varPhi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$，由于标准正态分布的概率密度函数关于$t = 0$对称，所以$\int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{t^2}{2}} dt=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$。
又因为$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \sqrt{2\pi}$，则$\varPhi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\times\frac{1}{2}\times\sqrt{2\pi}=0.5$，所以选项B成立。

选项C

由选项A的分析可知$\varPhi(x) + \varPhi(-x)=1$，若$\varPhi(-x) = \varPhi(x)$，则$2\varPhi(x)=1$，即$\varPhi(x)=0.5$，这显然不对于任意的$x\geq0$都成立，所以选项C不成立。

选项D

$P(|X| < a)=P(-a < X < a)$，根据概率的性质可得：
$P(-a < X < a)=\varPhi(a) - \varPhi(-a)$
由选项A可知$\varPhi(-a)=1 - \varPhi(a)$，代入上式可得：
$P(-a < X < a)=\varPhi(a) - (1 - \varPhi(a))=2\varPhi(a) - 1$
所以选项D成立。