例25、当 gt 1 时,证明不等式 ln xgt x-1 -

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数单调性的分析及极值的应用。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式转化为函数形式，便于分析其性质。
2. 求导分析单调性：通过导数判断函数在区间内的增减趋势。
3. 确定最小值：结合单调性与端点值，证明函数在区间内始终大于零。

破题关键点：

• 正确构造辅助函数 $g(x) = x \ln x - x + 1$，将原不等式转化为证明 $g(x) > 0$。
• 导数计算：明确 $g'(x) = \ln x$，并分析其符号变化。
• 单调性与极值：利用 $x > 1$ 时 $\ln x > 0$，得出 $g(x)$ 单调递增，从而最小值出现在 $x = 1$ 处。

步骤1：构造辅助函数
定义函数 $g(x) = x \ln x - x + 1$，原不等式 $x \ln x > x - 1$ 等价于证明 $g(x) > 0$ 在 $x > 1$ 时恒成立。

步骤2：求导分析单调性
计算导数：
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x - x + 1) = \ln x + 1 - 1 = \ln x.$
当 $x > 1$ 时，$\ln x > 0$，因此 $g(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递增。

步骤3：确定最小值
由于 $g(x)$ 在 $x > 1$ 时单调递增，其最小值出现在区间左端点 $x = 1$ 处：
$g(1) = 1 \cdot \ln 1 - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.$
因此，当 $x > 1$ 时，$g(x) > g(1) = 0$，即 $x \ln x > x - 1$ 恒成立。