题目
线性方程组 x1+2x2+3x3=2 x1-x3=6 -3x2+3x3=4 __ A.有无穷多解B.有唯一解C.无解D.只有零解
线性方程组
A.有无穷多解
B.有唯一解
C.无解
D.只有零解
题目解答
答案
题中线性方程组增广矩阵为
，第二行减去第一行，得
，第二行除以2，得
，第三行减去三倍的第二行，得
，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知量个数等于3，因此有唯一解，选B.
解析
步骤 1：写出线性方程组的增广矩阵
线性方程组$\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+2{x}_{2}+3{x}_{3}=2\\ {x}_{1}-{x}_{3}=6\\ -3{x}_{2}+3{x}_{3}=4\end{matrix} \right.$的增广矩阵为$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 1& 0& -1& 6\\ 0& -3& 3& 4\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
第二行减去第一行，得$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 0& -2& -4& 4\\ 0& -3& 3& 4\end{matrix} ) \right.$。
第二行除以2，得$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 0& -1& -2& 2\\ 0& -3& 3& 4\end{matrix} ) \right.$。
第三行减去三倍的第二行，得$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 0& -1& -2& 2\\ 0& 0& 9& -2\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：判断方程组的解
由于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知量个数等于3，因此方程组有唯一解。
线性方程组$\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+2{x}_{2}+3{x}_{3}=2\\ {x}_{1}-{x}_{3}=6\\ -3{x}_{2}+3{x}_{3}=4\end{matrix} \right.$的增广矩阵为$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 1& 0& -1& 6\\ 0& -3& 3& 4\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
第二行减去第一行，得$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 0& -2& -4& 4\\ 0& -3& 3& 4\end{matrix} ) \right.$。
第二行除以2，得$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 0& -1& -2& 2\\ 0& -3& 3& 4\end{matrix} ) \right.$。
第三行减去三倍的第二行，得$\left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 2\\ 0& -1& -2& 2\\ 0& 0& 9& -2\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：判断方程组的解
由于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知量个数等于3，因此方程组有唯一解。