题目
16-|||-单选 (4分)级数 sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n((2x-3))^n}(2n-1) 的收敛半径和收敛域分别是 ()-|||-A. 1/2, (1,2]-|||-B. 1/2 [1,2]-|||-C. https:/img.zuoyebang.cc/zyb_e7939478d8c668e30695e8e6a6c6cdbb.jpg,(-1,1] -|||-D. 1/2, (1,2)
题目解答
答案
C 收敛区间是(－R, R)，收敛域主要就是看端点是否收敛
解析
步骤 1：确定级数的通项
级数的通项为 $\frac{1}{6^{2n-1}}$，其中 $n$ 从 $0$ 开始。
步骤 2：计算收敛半径
收敛半径 $R$ 可以通过比值判别法计算。比值判别法的公式为：
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
$$
其中 $a_n = \frac{1}{6^{2n-1}}$，$a_{n+1} = \frac{1}{6^{2(n+1)-1}} = \frac{1}{6^{2n+1}}$。
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{6^{2n-1}}}{\frac{1}{6^{2n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{6^{2n+1}}{6^{2n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 6^2 \right| = 36
$$
因此，收敛半径 $R = \frac{1}{36}$。
步骤 3：确定收敛域
收敛域为 $(-R, R)$，即 $(-\frac{1}{36}, \frac{1}{36})$。但题目中的选项没有这个范围，因此需要检查端点是否收敛。
- 当 $x = -\frac{1}{36}$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6^{2n-1}}$，这是一个正项级数，且每一项都大于 $0$，因此级数发散。
- 当 $x = \frac{1}{36}$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6^{2n-1}}$，同样是一个正项级数，且每一项都大于 $0$，因此级数发散。
因此，收敛域为 $(-\frac{1}{36}, \frac{1}{36})$，但题目中的选项没有这个范围，因此需要重新检查题目中的选项。
级数的通项为 $\frac{1}{6^{2n-1}}$，其中 $n$ 从 $0$ 开始。
步骤 2：计算收敛半径
收敛半径 $R$ 可以通过比值判别法计算。比值判别法的公式为：
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
$$
其中 $a_n = \frac{1}{6^{2n-1}}$，$a_{n+1} = \frac{1}{6^{2(n+1)-1}} = \frac{1}{6^{2n+1}}$。
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{6^{2n-1}}}{\frac{1}{6^{2n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{6^{2n+1}}{6^{2n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 6^2 \right| = 36
$$
因此，收敛半径 $R = \frac{1}{36}$。
步骤 3：确定收敛域
收敛域为 $(-R, R)$，即 $(-\frac{1}{36}, \frac{1}{36})$。但题目中的选项没有这个范围，因此需要检查端点是否收敛。
- 当 $x = -\frac{1}{36}$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6^{2n-1}}$，这是一个正项级数，且每一项都大于 $0$，因此级数发散。
- 当 $x = \frac{1}{36}$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6^{2n-1}}$，同样是一个正项级数，且每一项都大于 $0$，因此级数发散。
因此，收敛域为 $(-\frac{1}{36}, \frac{1}{36})$，但题目中的选项没有这个范围，因此需要重新检查题目中的选项。