题目
在△ABC中，cosC=(2)/(3)，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. (1)/(9) B. (1)/(3) C. (1)/(2) D. (2)/(3)
在△ABC中，cosC=$\frac{2}{3}$，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
- A. $\frac{1}{9}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{2}{3}$
题目解答
答案
解：在△ABC中，cosC=$\frac{2}{3}$，AC=4，BC=3，
由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cosC=42+32-2×4×3×$\frac{2}{3}$=9；
故AB=3；
∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{{3}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×3×3}$=$\frac{1}{9}$，
故选：A．
由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cosC=42+32-2×4×3×$\frac{2}{3}$=9；
故AB=3；
∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{{3}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×3×3}$=$\frac{1}{9}$，
故选：A．
解析
步骤 1：应用余弦定理求AB
根据余弦定理，AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2AC•BC•cosC。将已知值代入，得到AB^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2×4×3×$\frac{2}{3}$ = 16 + 9 - 16 = 9。因此，AB = 3。
步骤 2：应用余弦定理求cosB
根据余弦定理，cosB = $\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2AB•BC}$。将已知值代入，得到cosB = $\frac{3^{2} + 3^{2} - 4^{2}}{2×3×3}$ = $\frac{9 + 9 - 16}{18}$ = $\frac{2}{18}$ = $\frac{1}{9}$。
根据余弦定理，AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2AC•BC•cosC。将已知值代入，得到AB^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2×4×3×$\frac{2}{3}$ = 16 + 9 - 16 = 9。因此，AB = 3。
步骤 2：应用余弦定理求cosB
根据余弦定理，cosB = $\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2AB•BC}$。将已知值代入，得到cosB = $\frac{3^{2} + 3^{2} - 4^{2}}{2×3×3}$ = $\frac{9 + 9 - 16}{18}$ = $\frac{2}{18}$ = $\frac{1}{9}$。