题目
设 G(x, y) 有连续偏导数，积分 int_(C) G(x, y)(ydx + xdy) 与路径无关，则 G(x, y) 应满足 (）。 A. xG_(x)(x, y)= yG_(y)(x, y)B. xG_(x)(x, y)= yG_(y)(x, y)C. G_(x)(x, y)= G_(y)(x, y)D. G_(x)(x, y)= -G_(y)(x, y)
设 $G(x, y)$ 有连续偏导数，积分 $\int_{C} G(x, y)(ydx + xdy)$ 与路径无关，则 $G(x, y)$ 应满足 (）。
- A. $xG_{x}(x, y)= yG_{y}(x, y)$
- B. $xG_{x}(x, y)= yG_{y}(x, y)$
- C. $G_{x}(x, y)= G_{y}(x, y)$
- D. $G_{x}(x, y)= -G_{y}(x, y)$
题目解答
答案
根据格林定理，积分 $\oint_{C} G(x, y)(y \, dx + x \, dy)$ 与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，其中 $P = G(x, y)y$，$Q = G(x, y)x$。计算得：
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = G + xG_x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = G + yG_y.
\]
令两式相等，消去 $G$ 后得：
\[
xG_x = yG_y.
\]
因此，正确答案为 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：应用格林定理
根据格林定理，积分 $\oint_{C} G(x, y)(y \, dx + x \, dy)$ 与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，其中 $P = G(x, y)y$，$Q = G(x, y)x$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $P$ 和 $Q$ 的偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = G + xG_x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = G + yG_y. \]
步骤 3：令偏导数相等
令 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，即 $G + xG_x = G + yG_y$，消去 $G$ 后得： \[ xG_x = yG_y. \]
根据格林定理，积分 $\oint_{C} G(x, y)(y \, dx + x \, dy)$ 与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，其中 $P = G(x, y)y$，$Q = G(x, y)x$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $P$ 和 $Q$ 的偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = G + xG_x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = G + yG_y. \]
步骤 3：令偏导数相等
令 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，即 $G + xG_x = G + yG_y$，消去 $G$ 后得： \[ xG_x = yG_y. \]